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けますでしょうか。
勉強していて、下記の問題がどうしてもわかりません。
解答はついているのですが、考え方がわかりません。
教えていただけないでしょうか?
問い
56にできるだけ小さい自然数をかけて、ある整数の二乗にしたい。どんな数をかければよいか?

素因数分解はできるのですが(2の3乗X7)、その後の考え方がわかりません。
ちなみに答えは2X7=14 です。
解説に、56=2の3乗x7=2の2乗x(2x7) よって、2x7=14とありますが、
この解説がまったく理解できません。 2x7=14が何を意味するのかがわかりません。
どう考えればよいのでしょうか?

同じく
360を自然数でわって、ある整数の2乗にしたい。どんな数でわればよいか?
という問いも、素因数分解から先の考え方がわからず、解けません。
(答え10,40,90,360)。

どなたか 解き方(考え方)を教えていただけますでしょうか。

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

56×14=784ですね・・・


そして、784=28^2

取り敢えず、56を素因数分解すると、
56=2^3×7。これは、いいですね?
この段階で、2×2は2の2乗になってるので、残りの2×7も2乗になるように2×7=14をかけたワケです。
もっと分かりやすく、問題から、
56×○○=X^2とします。
そこで、X^2=2^3×7×○○です。
ここで、X^2=A^2×B^2としたらどうでしょう?
A^2×B^2=(AB)^2=X^2であることは分かりますよね?
つまり問題から、56に自然数をかけてX^2にすることは、(AB)^2にすることと同義なのです。
なのでまず始めに、56=2^2×2×7より、2の2乗の形になってるので、2^2を省きます。
そして、2×7を2乗の形にするにはどうするか?そう、2×7をかけるのです。
こうすることで、
56×○○=2^2×(2×7)^2=(2×2×7)^2となり、
求める自然数○○は、2×7=14となります。

これに限らず、2乗が増えるようなら、
○○×□□=2^2×3^2×・・・・
○○×□□=(ABC・・・)^2
といったように、2乗する文字を増やしていかなければなりません。

次に、360について、
360=2^3×3^2×5
これより、360を△△で割って、X^2にするんです。
この△△は、右辺から推測します。
(A)360=2^2×3^2×2×5にして、
両辺を2×5で割れば、左辺は2^2×3^2=(2×3)^2になります。
よって、割る数は2×5=10
(B)360=3^2×2^3×5にして、
両辺を2^3×5で割れば、左辺は3^2になります。
よって、割る数は2^3×5=40
(C)360=2^2×2×3^2×5にして、
両辺を2×3^2×5で割れば、左辺は2^2になります。
よって、割る数は2×3^2×5=90
(D)360=2^3×3^2×5より、
両辺を2^3×3^2×5で割ると、左辺は1=1^2
よって、割る数は2^3×3^2×5=360

となり、回答を満たします。
考え方さえ理解できれば、問題式を分解して、回答の推測、証明で済みます。

参考までに、
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
2問ともにやっと理解できました。

お礼日時:2010/11/20 12:50

56=2^3×7を


=2^2×(2×7)にするのはわかりますよね
すると2の方は二乗になっているので
   
残りの2×7にある数nをかければ56の二乗の数になります。
(2×7)×n=(2×7)^2
このnが最小になるのは2×7=14しかありませんので14です

360=2^3×3^2×5
=2^2×3^2×2×5
と素因数分解できるので
今度は360をある数で割って二乗になるのは
(2×3)^2になる時---->割る数2×5=10
3^2になる時---->割る数2^2×2×5=40
2^2になる時---->割る数3^2×2×5=90
1^2になる時---->割る数360
の4つになります
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この回答へのお礼

おかげでりかいできました。
ありがとうございます

お礼日時:2010/11/20 12:53

56を素因数分解すると


2x2x2x7
ですね。

一方、整数☆の2乗とは☆×☆と
書けるということですね
星を素因数分解して△×□なら
(△×□)×(△×□)
ですよね
これをみて分るのは2乗になるためには
右と左に同じ素因数が並ぶということ
なのです。

ということはそれぞれの素因数がすべて
2の倍数個ある(つまり偶数個ある)数
は何かの2乗になっているということと
同じなのです。

さて56に戻ると素因数は2が三個7が1個ですね
どちらも個数は奇数ですので、偶数個にするため
には、2をひとつ、7をひとつかけてやれば
良いことが分ります
そうすると出来た数は
2×2×2×2×7×7
ですから
(2×2×7)×(2×2×7)
となり
28×28ですので28の2乗です
一方360の場合
2×2×2×2×2×2×2×5
ということで2が7個、5が1個ですね
ある数☆で割り算するということは、かける☆
がなくなるのと同じなので、さっきの問題と逆に
へらすことで偶数個にすればよいのです。
5×2で割ると2が6個になります
5×2×2×2で割ると2が4個になります
5×2×2×2×2×2でわれば2が2個になります
このパターンに
1は1の二乗であることを加えれば答えになります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
よく読んでみます。

お礼日時:2010/11/20 12:51

整数 n を素数 p1, p2, ... と指数 q1, q2, ... で



n= (p1 の q1 乗)x(p2 の q2 乗)x...

と表して,2乗すると,

n の2乗 = (p1 の 2 q1 乗)x(p2 の 2 q2 乗)x...

と指数の部分が 2 倍される.

ということで,ある整数の2乗になるなら,全ての指数は偶数です.

56 = 2^3 x 7

なので,2 の指数を偶数にするには 2 が一個必要,
7 の指数を偶数にするには 7 が一個必要です.

360 = 2^3 x 5 x 3^2

なので,全ての指数を偶数にするには,2 と 5 を一個取り除くなど
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
よく読んでみます。

お礼日時:2010/11/20 12:52

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