宜しくお願い致します

ｘ、ｙの関数Q=2x²-2xy+y²+2x+4y+6の最小値はの解き方を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/13 12:56

基本は「平方完成」を見つけ出すことです。

ここでは、とりあえず「 x - y 」という項に着目してみましょう。

Q = 2x² - 2xy + y² + 2x + 4y + 6
　= (x² - 2xy + y²) + x² + 2x + 4y + 6　←「-2xy」を消去できる「x,y の二乗式」を見つける
　= (x - y)² + x² + ( -4x + 4y ) + 6x + 6　←「x²」が余ったので、「4y」を消去できる「(x - y)の一次式」を見つける
　= (x - y)² - 4(x - y) + x² + 6x + 6　
　= [ (x - y) - 2 ]² - 4 + x² + 6x + 6　　←「x - y」を使った二乗式を作る。
　= (x - y - 2)² + x² + 6x + 2　　　　←残りは x だけの式になるので、ｘの平方完成を考える。
　= (x - y - 2)² + (x + 3)² - 7

こうなれば、
　　x - y - 2 = 0
　　x + 3 = 0
のときに、Qは最小値 -7 となることが分かります。
　そのときには
　　x = -3
　　y = -5
ということです。

平方完成を見つけるところが、ちょっと工夫がいります。