0＜m＜1とする。0≦x≦1の範囲で、曲線y=x^2と直線y=mxで囲まれた2つの部分の面積の和をS

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質問者：さくらンボ
質問日時：2019/02/01 21:33
回答数：2件

0＜m＜1とする。0≦x≦1の範囲で、曲線y=x^2と直線y=mxで囲まれた2つの部分の面積の和をS(m)とする。
(1)S(m)をmで表してください。
(2)S(m)が最小となるmの値と、そのときのS(m)
の値を求めてください。

この問題の解き方と答えを教えてください

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： varietyknowledge
回答日時：2019/02/01 22:27

y=x^2とy=mxの交点を求めると、

x^2=mx
x^2 - mx =0
x(x-m)=0
x=0, m

(1)は、
S(m)=∫[0~m] (mx - x^2) dx + ∫[m~1] (x^2 - mx) dx
=((m/2)x^2 - (1/3)x^3)[0~m] + ((1/3)x^3 - (m/2)x^2)[m~1]
=(m^3)/6 + (1/3) - (m/2) + (m^3)/6
=(m^3)/3 - (m/2) + (1/3)

(2)は、
S'(m)=m^2 - 1/2
S'(m)=m^2 - 1/2=0のときのmは、0<m<1なので、
m=√2/2（極小）

0<m<1において、m=√2/2のときS(m)が最小になる。
S(√2/2)=(2√2/8) - (√2/4) + (1/3)=1/3