「画像のような、直角三角形ABCの各辺上に頂点を持つ長方形ADEFを作る。
長方形の面積が12m^2以上になるときの長方形ADEFの周の長さを求めよ」
という問題です。
参考書はAFをxとしているのですが、自分はADをxとして
AD=xとすると、0<x<9
BD=9-x
△ABC∽△BDEより
ED=2/3*(9-x)
x*2/3(9-x)≧12
(x-3)(x-6)≦0
3≦x≦6
ここからの部分です。
解答は
周の長さは2{x+2*(9-x)/3}=2/3*(18+x)
3≦x≦6より
14≦2/3*(18+x)≦16
としています。この解答は理解できます。
自分の解き方は
3≦x≦6よりED=2/3(9-x)の範囲を求めて
2≦2/3(9-x)≦4
3≦x≦6
2≦2/3(9-x)≦4
この二つを足して2倍
10≦x+2/3(9-x)≦20
としました。たしかにこれでは長方形の面積が12m2以上なのに、3*2=6になってしまいます。
自分の解答はどこを間違えどう考えれば良かったのでしょうか?
よろしくお願いします!
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>参考書はAFをxとしているのですが、自分はADをxとして
>AD=xとすると、0<x<9 BD=9-x
ED=yとおくと、
長方形の面積が12m^2以上だから、xy≧12 ……(1)
△ABC∽△DBEより
CA:ED=BA:BDだから、
6:y=9:(9-x)
9y=6(9-x)=54-6xより、
y=6-(2/3)x を(1)へ代入して
x{6-(2/3)x}≧12
両辺に3を掛けて
x(18-2x)≧36
2x^2-18x+39≦0
x^2-9x+18≦0
(x-3)(x-6)≦0より、
3≦x≦6
y=6-(2/3)xは、単調減少なので、
x=3のとき、y=4
x=6のとき、y=2より
長方形の周の長さは、
2(x+y)=2×(3+4)=14
から、
2(x+y)=2×(6+2)=16
よって、14≦2(x+y)≦16
>自分の解答はどこを間違えどう考えれば良かったのでしょうか?
xとyの対応を間違えています。
y=2/3(9-x)のグラフを3≦x≦6の範囲で描いてみれば、
xとyの対応の関係が分かると思います。
非常に分かりやすかったです!
わざわざありがとうございます!
asuncionさん、suko22さんもありがとうございました。
「互いに連動している不等式が2つある場合には、安易に最大値同士、最小値同士足してはいけない」肝に銘じておきます。
No.2
- 回答日時:
>3≦x≦6
>2≦2/3(9-x)≦4
>この二つを足して2倍
>10≦x+2/3(9-x)≦20
x+2/3(9-x)
は、「この二つを足して2倍」状態でしょうか。
そもそも、この解き方が正しいかどうかはよくわかりませんけれど。
No.1
- 回答日時:
>解答は
>周の長さは2{x+2*(9-x)/3}=2/3*(18+x)
>3≦x≦6より
>14≦2/3*(18+x)≦16
解答は周の長さをxで先に表しています。
横と高さは連動しているので周の長さをxを使って先に求めています。
>3≦x≦6
>2≦2/3(9-x)≦4
>この二つを足して2倍
>10≦x+2/3*(9-x)≦20
質問者さんの解答は高さの範囲と横の範囲を別々に求めています。そして最小値同士、最大値同士足しています。
ここで、考えてください。
縦が最大のとき、横も最大になりますか?
ならないと思います。
実際、
xの最大値は6です。2/3*(9-x)の最大値は4です。
しかし縦x=6のとき、横は(2/3)*(9-6)=2です。最大値の4にはなりません。
このような互いに連動している不等式が2つある場合には、安易に最大値同士、最小値同士足してはいけません。なぜなら同じxで縦、横とも最大値の和または最小値の和になるとは限らないからです。(上の例で明らか)
どうでしょうか?イメージできましたか?
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