２つの二次関数の大小関係

f(ｘ)＝ｘ^2-ax-2a、g(ｘ)＝-ｘ^2+3ax-4がある。(1)全ての実数ｘに対してf(ｘ)＞g(ｘ)が成り立つ (2)ある実数ｘに対してf(x)＜g(ｘ)が成り立つとき、定数aの値の範囲を求めよ 高校1年生でも出来る解き方での解説よろしくおねがいします！

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/15 23:50

(1)

f(x) - g(x) = x^2 - ax - 2a - (-x^2 + 3ax - 4)
　　　　　= 2x^2 - 4ax - 2a + 4
　　　　　= 2(x^2 - 2ax - a + 2)
　　　　　= 2[ (x - a)^2 - a^2 - a +2 ]
　　　　　= 2[ (x - a)^2 - (a - 2)(a + 1) ]
よって、すべての x に対して f(ｘ) > g(ｘ) が成り立つためには
　　(a - 2)(a + 1) < 0
従って
　　-1 < a < 2

(2) 「ある x に対して f(ｘ) < g(ｘ) が成り立つ」ということは「 f(ｘ) < g(ｘ) となる実数 x が存在する」ということ。
これは、逆の「すべての x に対して f(ｘ) ≧ g(ｘ) が成り立つ a の範囲以外」ということです。

「すべての x に対して f(ｘ) ≧ g(ｘ) が成り立つ a の範囲」であれば、「 f(ｘ) < g(ｘ) となる実数 x は存在しない」ということですから。

(1)より、「すべての x に対して f(ｘ) ≧ g(ｘ) が成り立つ a の範囲」が -1 ≦ a ≦ 2 なので、
　a < -1 または 2 < a
であれば、「 f(ｘ) < g(ｘ) となる実数 x が存在する」ということになります。