｢次の関数の最大値と最小値を求めよ。また, そのときのxの値を求めよ。｣ y=log½—(-2x+8

｢次の関数の最大値と最小値を求めよ。また, そのときのxの値を求めよ。｣
y=log½—(-2x+8) (0≦x≦3)

上記の様な問題があるのですが、画像の様に解いていくと不等式が成り立たなくなってしまうのですが、解答では左右を入れ替えている…？のです。
これがよく理解出来ないのですが、教えて頂けないでしょうか？
宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 改行が上手く認識されなかった様なので。
  
  (0≦x≦3) はxの値のとる範囲です。

    補足日時：2020/12/01 22:46

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/02 12:45

1<3の両辺を-2倍すれば　-2<-6　としてしまうのは矛盾

正しくは-2倍で　-2>-6　です

詳細は次の通り

右へいくとプラスで、左へ行くとマイナスである数直線上で考えてもらえばよいが

１は原点から右に1離れた位置にあり、３は原点から右に３離れた位置なので、数直線上でより右側にある３のほうが大きいですよね
よって1<3

両辺を+2倍すれば
それぞれの原点からの距離が2倍になるので
1x2=2よりも3x2=6のほうが数直線上のより右の位置にあることは2倍前と変わらない
よって
1x2<3x2
⇔2<6

ところで１を-2倍すれば　-2で　原点からの距離は２倍であるが位置は原点の左
１を+2倍したときと比べて　原点からの距離は変わりませんが
右へ２離れているのか、左へ２離れているのかという違いがありますよね

３も同じこと、
3x(+2)も、3x(-2)も原点からの距離は6で等しいが　
原点の右に来るか、左に来るかの違いがあります

ゆえに、1<3を両辺マイナス２倍すれば　
原点により近いのは左辺であることに変わりはありませんが
マイナス2倍する前は左辺、右辺ともに原点の右であったものが
マイナス倍後には双方とも原点の左となってしまうので
原点により近い左辺のほうが、数直線上でより右の位置となり
大きくなってしまうのです
つまり　1<3⇔1x(-2)>3x(-2)

結局、「両辺マイナス倍では　不等号の向きを変える」　ということになります

0≦x≦3でも同じこと
全体をマイナス2倍すれば先ほどと同じ理由で不等号の向きが変わって
0≧-2x≧-6
全体に+8しても左辺、中辺、右辺の数直線上での位置関係は変わらないから
大小関係は変わらない→不等号の向きは変わらないので
0+8≧-2x+8≧-6+8
⇔2≦-2x+8≦８
ということです

この回答へのお礼

詳しく載せて頂き助かりました…！
お陰で本質的な部分から理解することができました( ¨̮ )
ありがとうございました！

お礼日時：2020/12/02 20:11

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/01 23:21

No.2 です。

「マイナスをかけると、不等号の向きが逆転する」ことを実際にやってみれば

　-1 ≦ 3 ≦ 5
に「-2」をかければ
　2 ≧ -6 ≧ -10
になるでしょ？

　-5 ≦ -3 ≦ -1
に「-3」をかければ
　15 ≧ 9 ≧ 1

疑問に感じたら、簡単な例でやってみればよい。

この回答へのお礼

回答頂きまして、ありがとうございました(*´꒳`*)
初歩的なことが抜けてしまっていたみたいなので次からは気をつけていきたいと思います。

お礼日時：2020/12/02 20:12

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/12/01 23:16

-2を掛けているので不等号の向きは逆になる。

0≦x≦3

各辺に-2を掛けると、

-6≦-2x≦0

各辺に8を足すと、

-6+8≦-2x+8≦0+8
2≦-2x+8≦8

となる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！
符号が逆転するという初歩的なことを忘れてしまっていました…
今後気をつけていきたいと思います。
助かりました(*´˘`*)

お礼日時：2020/12/02 20:13

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/01 23:15

「1/2 を底とする対数」でよいのかな？

y = log[1/2](-2x + 8)

これは、対数の定義から
　(1/2)^y = -2x + 8
ということです。
これは
　2^(-y) = -2x + 8
なので
　2x = 8 - 2^(-y)
→　x = 4 - 2^(-y - 1)

0≦x≦3 なら
　0 ≦ 4 - 2^(-y - 1) ≦ 3
→　-4 ≦ -2^(-y - 1) ≦ -1
→　4 ≧ 2^(-y - 1) ≧ 1
→　2^2 ≧ 2^(-y - 1) ≧ 2^0
よって
　2 ≧ -y - 1 ≧ 0
→　3 ≧ -y ≧ 1
→　-3 ≦ y ≦ -1


このやり方ではなく、まず真数である「-2x + 8」の範囲を求める？
　0 ≦ x ≦ 3
に -2 をかけると、不等号の向きが逆転して
　0 ≧ -2x ≧ -6
8 を加えて
　8≧ -2x + 8 ≧ 2

「マイナス」をかけると、不等号の向きが逆転しますよ。

この回答へのお礼

細かな所までお答え頂け、きちんとした理解に繋がりました…！
回答頂け、とても助かりました( ˊ꒳ˋ )
ありがとうございました！

お礼日時：2020/12/02 20:14

No.1 回答者： metabolian 回答日時： 2020/12/01 23:13

(1/2)^y = Ｘ（Ｘ=-2x+8）とすると、

分かるかも。yが増加するとＸは減少。
対数関数のグラフは、
底>1 のときは単調増加、
0<底<1 のときは単調減少します。
今回の場合、底は1/2ですね。

この回答へのお礼

早く回答頂け、とても助かりました(*ˊᵕˋ*)
次回は同じミスをしないように気をつけたいと思います！
ありがとうございました！

お礼日時：2020/12/02 20:15