画像の問題の(2)で質問です。 ①と②でx^2-x+a-4=0…③とし、 ③２解をα、β(α<β)と

画像の問題の(2)で質問です。
①と②でx^2-x+a-4=0…③とし、
③２解をα、β(α<β)とすると
S=∮[α→β]｛(4-x^2)-(a-x)｝dx =-∮[α→β](x-α)(x-β)dx=(β-α)^3/6=4/3
よって(β-α)^3=8
(β-α)^2=D=4より17-4a=4
よってa=13/4
という解説がありましたがまじでわかりません。
α、βを仮置きしたあとの部分から詳しく解説していただけませんか？
1/6公式は２つのグラフの交点の座標をα、βと仮置きさえしたらあとは=面積(この問題なら4/3)というふうに使ったらいいのでしょうか？あまり1/6公式を理解できていると思えず、不安になります。
また、(β-α)^2=D=4というのはどこから分かるのですか？

質問者からの補足コメント

• 1/6公式を使わない場合
  
  S=∮[α→β]｛(4-x^2)-(a-x)｝=∫[α→β](-x^2+x+4-a)
  =[-x^3/3+x^2/2+4x-ax][α→β]で計算したやつ=4/3で答えが出てくるってことですかね？
  理解力なくてすいません。

    補足日時：2025/03/26 22:12

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/27 09:56

＞ S = ∮[α→β]｛ (4-x^2)-(a-x) ｝ = ∫[α→β] (-x^2+x+4-a)

＞ = [-x^3/3+x^2/2+4x-ax][α→β] で計算したやつ =4/3 で
＞ 答えが出てくるってことですかね？

まあ、それでもいいんだけど... メンドくない？
展開しないで ｔ=ｘ-α で置換したほうが楽だって No.1 に書いた。
他の人もそれに賛成してるようだ。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/27 05:59

(1/6)公式を使うのではなく

S=-∫[α→β](x-α)(x-β)dx
で
t=x-αと置換積分して
=(β-α)^3/6
を求めて
=4/3
とするのです

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2025/03/25 22:33

1/6公式などと言う「ザコの公式」は覚える必要も(無理に)理解する必要もありません。

定積分で面積を求める方法が分かっていれば自動的に出て来ます。率直に言って「公式」の名を冠するのもおこがましい下っ端の式です。実際私は学校では習いませんでしたし、もちろん教科書や参考書にも載っていませんでした。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/25 15:58

(1/6)公式を理解できていないのなら

(1/6)公式を覚えるのではなく
(1/6)公式の導き方を覚えましょう

(β-α)^2=D=4というのは
(β-α)^3=8
から
β-α=2
とわかり
(β-α)^2=4
とわかる

x^2-x+a-4=
(x-α)(x-β)=
x^2-(α+β)x+αβ=0の判別式は
D=(α+β)^2-4αβ=(β-α)^2
とわかる

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/25 14:52

二次方程式の解 α と β を個々に算出はしないで

解と係数の関係から α, β の対称式や交代式の値を求める手法は、
積分というより、数I の基本手技としてとても重要なもの。
この問題のポイントは、 1/6 公式よりむしろそっちだと思うんだがな。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/25 10:22

メインの疑問点を忘れてた。

面積 = 4/3 から
∫[α→β]③dx = (1/6)(βーα)^3 = 4/3 → (βーα)^3=8
βーαが実数なら βーα = 2, (βーα)^2 = 4
つまり面積からβーαを逆算しているだけ。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/25 08:47

真正面から解こうと思えば解けるよね。

① αとβを算出する。αとβはaの関数になる。
②積分値をαとβを使って求める。積分値はaの関数になる。
③積分値=4/3 の方程式からaを求める。

で、楽する方法は、ゆっくり考えればいい。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/25 00:34

まず、 ①, ② のどっちからどっちを引いたのか勘違いしないようにすること。

(4 - x^2) - (a - x) = 0 の解を x = α, β (ただし a < β) とすると、
α ≦ x ≦ β の範囲で (4 - x^2) - (a - x) ≧ 0 となる。
そのことは、 y = (4 - x^2) - (a - x) のグラフが上凸の放物線であることから判る。
①, ② が囲う領域の面積は
S = ∫[α,β] ｜(4 - x^2) - (a - x)｜ dx
　= ∫[α,β]{ (4 - x^2) - (a - x) }dx
となる。
この絶対値をはずすとき、上記の符号が大切になる。

(4 - x^2) - (a - x) を因数分解すると、x^2 の係数に注意して
(4 - x^2) - (a - x) = - (x - α)(x - β).　これを使って、
S = ∫[α,β]{ - (x - α)(x - β) }dx
　= - ∫[α,β] (x - α)(x - β) dx
となる。
この後は、1/6 公式を使って直接
S = - { (-1/6)(β - α)^3 }
　= (1/6)(β - α)^3
でもいいが、公式は使わず
多項式を真面目に積分して
S = ∫[α,β]{ - (x - α)(x - β) }dx
　= - ∫[0,β-α] t((t+α) - β) dｔ　　；ｔ=ｘ-α で置換
　= - ∫[0,β-α]{ t^2 - (β-α)t }dｔ
　= - [ (1/3)t^3 - (1/2)(β-α)t^2 ]_{t=0,β-α}
　= - { (1/3)(β-α)^3 - (1/2)(β-α)(β-α)^2 }
　= (1/6)(β-α)^3
のほうむしろ良い。
公式暗記なんて、どうせ試験までにウロ覚えになってしまうから。

二次方程式 (4 - x^2) - (a - x) = 0 に戻ると、
解と係数の関係から
α + β = 1,
αβ = a-4
が判るので、
(α - β)^2 = α^2 - 2αβ + β^2
　　　　　= α^2 + 2αβ + β^2 - 4αβ
　　　　　= (α + β)^2 - 4αβ　　　　　←[＊]
　　　　　= 1 - 4(a-4)
　　　　　= 17 - 4a.
これを上の式へ代入すると、
S = (1/6)（17 - 4a)^(3/2).
[＊] は、数I で必須の式変形だから、むしろこちらを暗記したほうが良い。

求めるものは S = 4/3 となる a だから、
(1/6)（17 - 4a)^(3/2) = 4/3 を解いて a = 13/4.
これが答え。