写真の問題についてですが、 ①なぜ青線部の左辺の式を右辺の式に変形できるのですか？ ②∫logsin

写真の問題についてですが、
①なぜ青線部の左辺の式を右辺の式に変形できるのですか？
②∫logsinxdx(0,π)を黄線部の
∫logcos(θ/2)dθ(0,π)に代入したあとどのように計算すれば∫logsinθdθ(0,π)=-πlog2となるのですか？

以上の2点について解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• ①についてですが、確かにsinxは(0,π)においてx=π/2で対称ですが、log(sinx)でも同様なことが言えるのでしょうか？またこれを確かめるにはグラフの概形を描くしかないのでしょうか？

    補足日時：2024/11/24 15:41

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/26 17:23

画像の通り

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/24 16:47

①

t=π-x
とすると
x=π-t
dx=-dt
だから

2∫[0～π/2]log(sin(x))dx
=∫[0～π/2]log(sin(x))dx+∫[0～π/2]log(sin(x))dx
=∫[0～π/2]log(sin(x))dx-∫[π～π/2]log(sin(π-t))dt
=∫[0～π/2]log(sin(x))dx+∫[π/2～π]log(sin(t))dt
=∫[0～π/2]log(sin(x))dx+∫[π/2～π]log(sin(x))dx
=∫[0～π]log(sin(x))dx

②
I=∫[0～π]log(sin(θ))dθ=∫[0～π]log(sin(x))dx
とすると
I=∫[0～π]log(sin(θ))dθ
I=πlog2+∫[0～π]log(sin(θ/2))dθ+∫[0～π]log(cos(θ/2))dθ

↓∫[0～π]log(cos(θ/2))dθ=∫[0～π]log(sin(θ/2))dθ=∫[0～π]log(sin(x))dx=I　だから

I=πlog2+I+I

↓両辺に-πlog2-I を加えると

-πlog2=I

↓左右を入れ替えると

I=-πlog2

↓I=∫[0～π]log(sin(θ))dθだから

∫[0～π]log(sin(θ))dθ=-πlog2

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/24 16:31

...ああ、②は、そういう話じゃなくて、No.1 の計算か。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/24 16:26

①

∫[0，π/2] log(sin x)dx = ∫[π,π/2] log(sin(π-y))(-dy)　；y=π-x で置換
　　　　　　　　　　　= ∫[π/2,π] log(sin y)dy
が成り立つから。

グラフで計算を省略するのはよいが、計算しようとしても
ちゃんと計算できないなら、それは誤魔化しでしかないよ。　

②
∫[0,π] log(sin θ)dθ = -π log 2 だとは誰も言ってない。

対数法則から
log(2 sin(θ/2) cos(θ/2)) = log(2) + log(sin(θ/2)) + log(cos(θ/2))
になるだけだ。

右辺の π log 2 は、
∫log(2sin(θ/2)cos(θ/2))dθ = ∫(log 2)dθ + ∫log(sin(θ/2))dθ + ∫log(cos(θ/2))dθ
の第1項から
∫[0,π](log 2)dθ = (log 2){ π - 0 } = π log 2
で生じる。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/11/24 16:21

う～ん, 「確かにsinxは(0,π)においてx=π/2で対称ですが、log(sinx)でも同様なことが言えるのでしょうか？」って一体なにを心配しているんだろうか.... 「対称」の意味が理解できていない?

②黄色下線部第2項を同様にいじればいい. 以上.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/24 16:19

①

∫[0→π/2] logsinx dx=∫[π→π/2] logsin(π-y) (-dy)・・・y=π-x と変換
　= -∫[π→π/2] logsin(y) dy= ∫[π/2→π] logsin(x) dx
したがって、
2∫[0→π/2] logsinx dx=∫[0→π/2] logsinx dx+∫[π/2→π] logsinx dx
=∫[0→π] logsinx dx

②
積分をIとすると
　I=πlog2+∫[0→π] logsin(θ/2) dθ+∫[0→π] logcos(θ/2) dθ・・・(a)

ここで、右辺第一項は青線の１つ前の項から
　∫[0→π] logsin(θ/2) dθ=∫[0→π] logsin(θ) dθ=I
また、右辺第2項は青色で求めた値なので
　∫[0→π] logcos(θ/2) dθ=I
以上を(a)に入れると
　I=πlog2+2I → I=-πlog2