数学１の平方根について質問です

Question

数研出版の教科書に以下のようにあります。

平方根の基本的な性質についての教科書の記述です。


a≧0のとき　(√a)✳︎2 ＝ (-√a)✳︎2 = a  ,    √a ≧0

とあります。

なぜ最初に、a≧0と断る必要があるのでしょうか？
ルートの中にはマイナスは入らないので、aがマイナスの数にならないのは当たり前だと思うのですが、
なぜ、a≧0と書く必要があるのでしょう？


同じくなぜ、最後に、√a≧0と書く必要があるのでしょうか？

masterkoto · Accepted Answer

√aについて。
実は必ずしもa≧0でなくても良いです。
a<0の場合については高校以降で詳しく習いますが、
a<0の場合(√a)²=(-√a)²はマイナスの値となり
√aは虚数（純虚数）で正負や大小関係を考えることがない数になります
従って
a≧0のとき　(√a)✳︎2 ＝ (-√a)✳︎2 = a , √a ≧0
とは違いがあり、もしaについての条件a<0,a=0,a>0を曖昧にすると、混乱が生じてしまいます。
そこで、a≧0と書いてあるわけです。

また、a≧0のとき√a≧0であることは理解されていますか？
つまり√aはマイナスにはならないという事です！
これを、しっかり把握してもらうために教科書にこれが書かれていると思われます。
問題を解くときも場合によっては答案用紙に、√a≧0　とはっきり書いてやる必要があることがあります。

tknakamuri · Answer

式の定義範囲を明示するのはよい習慣だし、
a<0やaが複素数の場合の√も定義できて、
その場合正しく無いので、
a≧0に限定しないとまずい。

kairou · Answer

√a と表す場合、今習っている範囲では a≧0 なんですが、
高校になると a<0 の場合も習うからです。
それを区別するためです、多分。

尚、「(√a)✳︎2 ＝ (-√a)✳︎2 = a」ではなく、
「(√a)^2=(-√a)^2=a 」でないと誤解されます。
「*」は掛け算の記号で 「x」と一緒です。
「a²」は 「a^2 」と書きます。

ko-papa · Answer

もう少し先に進むとルートの中にマイナスを入れることができるようになります。その場合は、もうちょっと色々気をつけなくてはいけないことが出てくるのですが、今の段階では話がややこしくなってくるので、a≧0に話を限るために敢えて断りを入れてあるのです。

√a≧0は、正の数の平方根にはプラスとマイナスの２つがあって、「√aと書いた方がプラスの方を指している」と言いたいだけです。当たり前のように感じると思いますが、
√((-2)^2)=-2とやっちゃう人が結構多いんです。これは√4なので当然2な訳ですが、ルートの前に「マイナス」がついていないので、全体としてはそもそも「ゼロ以上の数である」という意識が大切なのです。

GOMΛFU · Answer

多分「✳」ではなく「＾」の間違いでしょうか。
数学では虚数(ルートの中にマイナス)を習わないからです。

数学１の平方根について質問です

√aについて。

式の定義範囲を明示するのはよい習慣だし、

√a と表す場合、今習っている範囲では a≧0 なんですが、

もう少し先に進むとルートの中にマイナスを入れることができるようになります。

多分「✳」ではなく「＾」の間違いでしょうか。

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