図のように正六角形をその中心で通る対角線で区切り、6個の合同な正三角形に分ける。これら6個の三角形を

図のように正六角形をその中心で通る対角線で区切り、6個の合同な正三角形に分ける。これら6個の三角形を6種類の色を用いて塗り分ける。ただし、隣合う三角形の色は異なるものとし、回転して一致するものは同じものとみなす。
6色のうち5色を用いて塗り分ける方法は何通りあるか。

答えは1080通りなのですが、導出の仕方がいまいちわかりません…
同じの色になる正三角形が向かい側にある時と一つ飛ばしたところにある時とで場合分けするとよいらしいです。
解き方を教えてください！

質問者からの補足コメント

• 図、載せ忘れてました！

  
    補足日時：2018/09/20 16:54

No.1 ベストアンサー 回答者： Zincer 回答日時： 2018/09/20 17:41

円縦列は分かりますか。

これはその応用です。
１か所（１）を固定して考えましょう。
>同じの色になる正三角形が一つ飛ばしたところにある時
１と３が同じとき
１は６通り
２は（残りの）５通り
３は１と同じなので1通り（決定済）
４は4通り
５は３通り
６は2通り
よって、７２０（＝６×５×４×３×２）通り

「１と５が同じとき」はこれを１／３回転させると必ず同じパターンがあるので考える必要なし。

＞同じの色になる正三角形が向かい側にある時
１と４が同じとき、同様に
１は６通り
２は（残りの）５通り
３は4通り
４は１と同じなので1通り（決定済）
５は３通り
６は2通り
よって、７２０通り
「合計1440通り」となりそうですが、答えが違います。
実は１と４が同じ色ですので、１／２回転させると同じパターンが出てくるのです。
つまり２回数えていることになるので「１と４が同じとき」は３６０（＝７２０／２）通りしかないのです。

よって正解は「１０８０通り」となります。

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです！ありがとうございます！

お礼日時：2018/09/20 18:23