半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化です。
説明が十分かどうか自身がもてません…orz
底辺を定めると高さが最大の時に面積が最大となるので、内接三角形の頂点は底辺の中心にあり、二等辺三角形になる。円の中心を内側に含む内接三角形を考える。
中心から底辺までの長さをx(0=<x<r)として、高さはx+rで表される。
さらに、中心から底辺の一端に補助線を引くと高さx、斜辺rの直角三角形ができる。
三平方からこの三角形の底辺は√(r^2-x^2)であり、これを2倍すると内接三角形の底辺=2√(r^2-x^2)となる。
∴S=(x+r)2√(r^2-x^2) , S>0…(1)
の極値について考える。s>0よりSが最大⇔S^2が最大なので、
s^2= f(x)について考察する。
f(x)=(x+r)^2 (r^2-x^2)=(x+r)^3(x-r)
f'(x)=3(r+x)^2-(x+r)^3=2(r+x^2)(r-2x)
∴実数の範囲ではx=r/2 の時、極値を取る。
f''(x)=4(r(x-1)-3x^2)
f''(r/2)=-r(r+4)<0 , (r>0) なので極大である。
以上よりx=r/2でS^2は最大値であり、又Sも最大値である。
(1)に代入して、S=(3√3/4)r^2である。
という感じで不備はないでしょうか?
宜しくご指導願います。
No.2
- 回答日時:
正解だと思います。
ただ、図形に慣れてくると、2等辺3角形と聞くと
頂角、またはその半分tを変数に取りたくなります。
この時
S=2r^2(cos^2t)(sin2t)
=r^2(cos2t+1)(sin2t)
p=sin2tとおくと
S=r^2(1+√(1-p^2))p
dS/dp=0より
p=√3/2
2t=π/3
t=π/6
S=3√3r^2/4
つまり正三角形です。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 半径6の円Kを底面とする半球がある。半球の底面に平行な平面が半球と交わっており、交わりの円Lの半径は 6 2022/06/24 06:34
- 数学 『弧は弦より長し』 8 2022/04/18 10:23
- 数学 三角形ABCの辺BCを4 : 3に内分する点をTとし、点Tを接点として辺BCに接する円が点Aで直線A 3 2023/02/12 21:03
- 数学 三角形の面積を求めよ 斜辺が11cm、底辺が14cmの二等辺三角形で 昨日解答をしてもらいましたが、 3 2023/03/11 22:03
- 数学 直角二等辺三角形についてです。 直角二等辺三角形ABCを(角A=90度)頂角Aから底辺BCに垂直に線 3 2023/06/05 23:05
- 数学 2つの角と1つの辺から辺の長さを求める。 色々やったんですけど 結局解けなかったので質問します。 x 10 2023/05/12 08:59
- 数学 AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。 点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をD 4 2023/02/02 15:55
- 数学 点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A、B をAB=6となるようにとる。また、 5 2023/08/16 23:32
- 数学 【数学の図形の名称と面積の計算方法】正三角形と扇形があります。正三角形の2辺を伸ばす 9 2023/02/06 23:30
- 数学 球の中心が正三角形の3辺をたどって1周したとき、球が通過してできた立体の体積を求めなさい。 1 2022/06/23 20:35
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2直角や3直角とは何ですか?
-
三角形の内角の和が270度?
-
底辺6cmの直角三角形があります...
-
二等辺三角形の底辺の求め方
-
この問題の答えを教えていただ...
-
3辺が3、4、5cmの三角形の 面積...
-
直角三角形の角度と辺の長さを...
-
なぜ長方形はたて×よこなの?
-
中学数学 三角形の面積の求め...
-
直角二等辺三角形の一辺
-
積分面積公式で1/6公式と1/3公...
-
中3 面積比 台形の問題です
-
不等辺三角形の頂角と高さと底...
-
円に内接する正(n+1)角形の面積...
-
中学3年生です。数学の図形がで...
-
会社で底辺中の底辺と言われた...
-
直角三角形に内接する四角形の面積
-
三角形の面積の公式の順序について
-
三角形の面積
-
日本人の数学と世界の数学
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
2直角や3直角とは何ですか?
-
底辺6cmの直角三角形があります...
-
フリーターは社会のお荷物なん...
-
生活保護って底辺なんですか? ...
-
「底辺」とは?
-
上底150mm 下底410mm 高さ920mm...
-
直角三角形の角度と辺の長さを...
-
三角スケールの計り方がわかり...
-
四角錐台の折り曲げ角度の求め方
-
三角形の面積の公式の順序について
-
なぜ長方形はたて×よこなの?
-
二等辺三角形の高さの求め方
-
三角関数での角度の求め方について
-
長方形に対角線をひいた時にで...
-
小6の算数の問題です。
-
4本の辺の長さだけが分かってい...
-
不等辺三角形の頂角と高さと底...
-
cos60の1/2
-
半径r(定数)の円に内接する三角...
-
二等辺三角形の面積が最大化さ...
おすすめ情報