数学のベクトルです。

問題

同一平面上にある4点O,A,B,Cがあり、
OAベクトル+OBベクトル+OCベクトル=0
また、|OA|=2,|OB|=1,|OC|=√2を満たすとき、
三角形OABの面積Sをもとめよ

できるだけ詳しく教えてください‼

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2014/01/28 16:40

図を書くと添付図のようになります。

図のように補助線を引き、Oに対してCの反対側に|OC'|=|OC|の点C'をとると
四角形OAC'Bは平行四辺形になります。
Oに対してBの反対側に|OB'|=|OB|の点B'をとると
四角形BCB'C'は平行四辺形になります。
B'に対してCの反対側に|B'C|=|B'C"|の点C"をとると
四角形AOB'C"と四角形AOCB'は平行四辺形になります。
△AB'C"において
AB'=|OC|=√2, AC"=|OB|=1, B'C"=|OA|=2 よりヘロンの公式を用いて面積を求めると
　s=(3+√2)/2
　△AB'C"=S=√{s(s-1)(s-2)(s-√2)}=(√7)/4

△ABC=△OBC+△BOA+△CAO=△OCB'+△C'OA+△B'OA
=3△AB'C"=3(√7)/4 ...(答え)

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/01/23 20:24

少々、寄り道。

　　　↓
>3 辺長がわかれば、いろいろな求積算式あり。


「ひたすらピタゴラス」のヘロン算式系なら？
以下では、「ヘロン算式」向きの記号を使用。

△ABC にて角 A の対辺 a を底辺として、A から a へ下ろした垂線で a=R+L と二分する。
　c^2 = L^2 + h^2　　　…(1)
　b^2 = R^2 + h^2
　= (a-L)^2 + h^2　　　…(2)
　　　　　↓
　b^2 = (a - L)^2 + c^2 - L^2
　b^2 = a^2 - 2aL + c^2
　L = (a^2 + c^2 -b^2)/(2a)
これを (1) へ入れ、
　h = √(c^2 - L^2)　　　…(3)

これを使えば、△ABC の面積 S = ah/2 を得る。

(3) 式右辺の (　) 内を因数分解していけば「ヘロン算式」に到達するが、単なる「整形」とも見える。

　　　

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/01/23 16:08

この場合は「3辺の長さ」を求めるよりも角度を使う方が簡単かも＞#1.

しかし, 自分だったら三角形ABC の面積を求めさせるな. そっちの方が問題として面白そうだし.

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/01/23 11:38

>同一平面上にある4点O,A,B,Cがあり、　OAベクトル+OBベクトル+OCベクトル=0

　　　　　↑
点 O が三角形 ABC の内部にある…ということらしい。
また、
　OA + OB = -OC
なる関係が成立。

>また、|OA|=2,|OB|=1,|OC|=√2を満たすとき、　三角形OABの面積Sをもとめよ
　　　　　↑
|OA+OB|=|OC|=√2 なのだろう。
S = 三角形 OAB の面積 = 三角形 OA(OA+OB) らしい。
三角形 OA(OA+OB) 3 辺長は |OA|=2, |OB|=1, |OA+OB|=√2 ということ。

3 辺長がわかれば、いろいろな求積算式あり。