こんにちは。 小学校の算数の幾何問題で、質問があります。 写真を見てください。 △PAB：△PCD＝

こんにちは。
小学校の算数の幾何問題で、質問があります。
写真を見てください。
△PAB：△PCD＝a×b：c×d
この式は公式らしいのですが、
なぜこの式が成り立つのかが分かりません。
教えてください。
宜しくお願いします！

No.5 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2020/01/02 06:33

点Bと点Cを繋ぐ補助線を引いて考えます。

直線PCが底辺側となるように見ると、△BPAと△BPCは 高さが同じですから、その面積の比は底辺の長さの比と同じになります。よって､､､
△BPA:△BPCの面積比＝a:c…①

次に直線PDが底辺側となるように見ると、△CDP（△DPC）と△CBP（△BPC）は高さが同じですから、先程と同様に､､､
△DPC:△BPCの面積比＝d:b…②

①と②を並べると､､､
①…△BPA:△BPC＝a:c
②…△DPC:△BPC＝d:b

△BPCの比を揃えるために、①にb、②にcをかけると､､､
①…△BPA:△BPC＝a×b:c×b＝a×b
:b×c
②…△DPC:△BPC＝d×c:b×c＝c×d:b×c

ここで△BPCの比を利用して、①と②をつなげると､､､
△BPA:△BPC:△DPC＝a×b:b×c:c×d

ここで△BPCの比を取り除くと､､､
△BPA:△DPC＝a×b:c×d

これを整理して､､､
△PAB :△PCD＝a×b:c×d

※質問者様が小学生であろうことから、説明の中の三角形を、見た目の頂点から呼び始めるように名付けたため、冗長な説明となってしまいました。申し訳ありません。

No.4 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/01/01 08:45

中学受験では比は柔軟です。

PA、PCを底辺としたとき底辺の比はa：cです。
B、DからPA、PDにそれぞれ下ろした垂線PQ、PRとすると△PBQ、△PDRは相似になり相似比はPB、PDの長さのc：dです。つまり高さの比はPQ：PR=c：dです。
ここで、中学受験の比の柔軟性がでてきます。
三角形の面積＝底辺×高さ÷２に比を代入して面積比を決めます。
△PABの底辺の比はa、高さの比はb。△PCDの底辺の比はc、高さの比はdです。
△PAB：△PCD=a×b÷2：c×d÷2　　　前項、後項を2倍して
　　　　　　　　　　=a×b：c×d

自然に高校の三角関数S=(1/2)ab sinA を使っています。

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/28 22:43

BからPAに垂線を下ろしPAとの交点をE、DからPCに垂線を下ろしPCとの交点をFとします。

△PEBと△PFDを比べると、∠Pは共通で、∠PEB＝∠PFD＝90°なので、大きさは違いますが同じ形の三角形です。
よって、BE：DF＝PB：PD　です。
PB：PD＝ｂ：ｄ　なので、BE：DF＝ｂ：ｄ　です。

△PABと△PCDの面積を求める時に、PA、PCを底辺とみると、BE、DFがそれぞれの高さになります。
底辺の比が、a：ｃ　で、高さの比が、ｂ：ｄ なので、
△PAB：△PCD＝a ×ｂ：ｃ×ｄ　となります。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/28 22:27

それは、小学校の幾何を中学以降の数学の言葉で記述したもの

でしょうか？ 文字を使っていますからね。
字面どおり中学数学を使ってよいなら
△PAB = (1/2)ab sin∠CPD,
△PCD = (1/2)cd sin∠CPD で終わりですが、
そういう質問ではないのでしょう？

算数の話としては...
∠CPD を固定して a, b を変化させたとき、
b も固定すれば △PAB ∝ a,
a を固定すれば △PAB ∝ ｂ であることから　←[1]
△PAB ∝ ab.
これを使って △PCD = (△PAB)(c/a)(d/b) となるので、
△PAB : △PCD = 1 : (c/a)(d/b) = ab : cd.

[1]の理由は、高さ共通な三角形の面積比を考えればよいです。

No.1 回答者： かねださん好き 回答日時： 2019/12/28 20:03

こちらの動画は見れますか？

https://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/basicmath/arch …