色の知識で人生の可能性が広がる!みんなに役立つ色彩検定 >>

大学の微積の条件付き極値問題です。
次の問題を教えてください。

半径rの円に内接する三角形の面積のとりうる値の最大値を求めよ

質問者からの補足コメント

  • すいません。
    内接三角形の3辺の中心角をx,y,2π-x-yとします。

      補足日時:2021/11/29 00:29
教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

質問文を全部無視してやりたいようにやってみる試み.



まず「二等辺三角形でなければならない」ことはすぐわかるので 3つの角を x, x, π-2x とおく. このとき 3辺の長さは 2r sin x, 2r sin x, 2r sin (π-2x) = 4r sin x cos x だから三角形の面積は
S(x) = 4r^2 sin^3 x cos x.
x に依存する部分を f(x) = sin^3 x cos x とおいてやると
[3f(x)]^(1/2) = [(sin^2 x)^3 (3 cos^2 x)]^(1/4) ≦ (1/4)(3 sin^2 x + 3 cos^2 x) = 3/4
で等号が成り立つのは sin^2 x = 3 cos^2 x より 4 cos^2 x = 1 だから cos x = 1/2, つまり x = π/3 だから正三角形でそのとき面積の最大値は
S(π/3) = (3√3/4) r^2.
    • good
    • 0

No.1訂正。

間違えちゃったす。

A=(r, α), B=(r, β) (0<α<β<2π)として、
  S = (r^2)(sinα + sin(β-α) - sinβ)

でした。あとは一緒。
    • good
    • 0

中心角をx,y,2π-x-yとすると条件付きにならず、2変数の極値問題


となる。
    • good
    • 0

3角形の頂点をA,B,Cとし、この3角形が円の中心Oを含むとする。


角AOB, BOC, COA をそれぞれ、a,b,c とする。
すると3角形AOB, BOC, COAの面積はそれぞれ
 rcos(a/2)・rsin(a/2)=(r²/2)sin a
同様に
 (r²/2)sin b , (r²/2)sin c
となる。

すると3角形ABCの面積Sは
 S(a,b,c)=(r²/2)(sin a+sin b+sin c)・・・・・①
となる。当然、
 G(a,b,c)=a+b+c=2π・・・・・・②
である。ラグランジュにより
 Sa-λGa=(r²/2)cos a-λ=0
 Sb-λGb=(r²/2)cos b-λ=0
 Sc-λGc=(r²/2)cos c-λ=0
したがって
 cos a=cos b=cos c → a=b=c
②に入れて
 a=b=c=2π/3
①から
 S=(r²/2)3sin2π/3=3(√3)r²/4

なお、この3角形が円の中心Oを含むとしたが、含まない場合、1つ
の角が180゜より大きくなり、マイナスとなり、他の3角形の和から
余分の3角形の面積を引いて、ちょうど求める面積になっている。
    • good
    • 0

素直に円の中心を原点とする極座標(R,θ)を考えて、点Cの座標を(R,θ)=(r,0)とする。

で、点Cと点A=(r,2α)、点B=(r,2β)(0<α<β<π)が作る三角形の面積Sは、ちょっと絵を描いてみればわかる通り
  S = (r^2) (sinα + sin(β-α) + sin(π-β))
というわけで
  ∂S/∂α=0
  ∂S/∂β=0
の連立方程式を解けばよし。「条件付き」と仰るのは0<α<β<πのことかな?
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

教えて!goo グレード

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング