半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化です。

半径r(定数)の円に内接する三角形の面積の最大化です。
説明が十分かどうか自身がもてません…orz


底辺を定めると高さが最大の時に面積が最大となるので、内接三角形の頂点は底辺の中心にあり、二等辺三角形になる。円の中心を内側に含む内接三角形を考える。

中心から底辺までの長さをx(0=＜x＜r)として、高さはx＋rで表される。
さらに、中心から底辺の一端に補助線を引くと高さx、斜辺rの直角三角形ができる。
三平方からこの三角形の底辺は√(r^2-x^2)であり、これを2倍すると内接三角形の底辺=2√(r^2-x^2)となる。

∴S=(x＋r)2√(r^2-x^2) , S>0…(1)

の極値について考える。s>0よりSが最大⇔S^2が最大なので、
s^2= f(x)について考察する。

f(x)=(x+r)^2 (r^2-x^2)=(x+r)^3(x-r)

f'(x)=3(r+x)^2-(x+r)^3=2(r+x^2)(r-2x)
∴実数の範囲ではx=r/2 の時、極値を取る。

f''(x)=4(r(x-1)-3x^2)
f''(r/2)=-r(r+4)<0 , (r>0) なので極大である。

以上よりx=r/2でS^2は最大値であり、又Sも最大値である。
(1)に代入して、S=(3√3/4)r^2である。

という感じで不備はないでしょうか？
宜しくご指導願います。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/26 00:34

No.1 に画像を付け忘れたので、挙げとく。

△ABC と △A'B'C の一方は、外接円の中心を含む
ということ。

この回答へのお礼

解り易い画像の添付、ありがとうございます！

お礼日時：2010/09/26 23:35

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2010/09/25 19:16

正解だと思います。

ただ、図形に慣れてくると、2等辺3角形と聞くと
頂角、またはその半分tを変数に取りたくなります。
この時
S=2r^2(cos^2t)(sin2t)
=r^2(cos2t+1)(sin2t)
p=sin2tとおくと

S=r^2(1+√(1-p^2))p
dS/dp=0より
p=√3/2
2t=π/3
t=π/6
S=3√3r^2/4

つまり正三角形です。

この回答へのお礼

そうですね、二等辺三角形かつ正三角形になるという事をどこかで記述しておくべきだと思います。

ご指摘、有難うございます。

お礼日時：2010/09/26 23:39

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/25 19:02

GJ. 概ねそれでよいが、

円の中心を内部に含む三角形だけに
限定してもよい理由を書いておくべき。
底辺の長さが同じ二つの三角形の内
高さの大きい方を選ぶと、そうなる。

この回答へのお礼

>>円の中心を内部に含む三角形だけに限定してもよい理由

ご指摘の部分について悩んでいたのですが、
添付していただいた画像ですぐに理解できました。

ありがとうございます！

お礼日時：2010/09/26 23:34