大学の微積分の多変数関数の極値問題です 次の問題を教えてください。 半径rの円に内接する三角形の面積

大学の微積分の多変数関数の極値問題です
次の問題を教えてください。

半径rの円に内接する三角形の面積のとりうる値の最大値を求めよ

質問者からの補足コメント

• 内接三角形の3辺の中心角をx,y,2π-x-yとしてください

    補足日時：2021/11/30 20:44

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/30 21:18

三頂点と円の中心の作る三角形の中心角をa、b、cとすると

S=(r²/2)(sina+sinb+sinc) で束縛条件はa+b+c=2π

解法①

c=2π-a-b
を使って、Sを無束縛のS(a、b) と、aとbで表せば
∂S/∂a=0、∂S∂/∂b=0 で停留点が求まる。

解法②
所謂ラグランジュの未定乗数法。
h(a、b、c、λ)=S(a、b、c)+λ(a+b+c-2π)
として
∂h/∂a=0、∂h/∂b=0、∂h/∂c=0、∂h/∂λ=0
で停留点を求める。

②だと

(r/2)²cosa+λ=0、(r/2)²cosb+λ=0、(r/2)²cosc+λ=0
→cosa=cosb=cosc→a=b=c=2π/3
これをSに入れればおしまい。