No.1ベストアンサー
- 回答日時:
なかなか手応えのある問題でしたね。
私よりもっとスマートな解答をできる人もいるかも知れません。
答えは √15/16 (16分のルート15、以下同様の書き方をします)
です。
ご質問において、
CE= 3/2
DE= 7/4
ははしょっていらっしゃったので、
AD= 5/4
CD= 2
は既に求められていらっしゃることを前提として話を進めます。
(△ABCについて余弦定理よりcos∠ABC=11/16
CD=8k、AD=5k とおいて、
△ADCについて余弦定理より AC^2(ACの2乗)をcos∠ADCで表すと、
円に内接する四角形の角の性質より、
cos∠ADC= -cos∠ABC だから、
k=1/4 と解ける。)
以下、●印付きは、解答ではなくコメントです。
AE= AD+DE = 3
BE= BC+CE = 7/2
●ACが∠BACの角の二等分線になっているのではないか、という仮説を証明して行きます。
△ABCについて余弦定理より cos∠BAC= 7/8
△ACEについて余弦定理より cos∠CAE= 7/8
0°<∠BAC<180°、0°<∠CAE<180°より、
∠BAC = ∠CAE
●または、BC=DC より、二等辺三角形であることを利用して、円周角どうしを見つけながら証明しても良い。
よって Iは直線AC上にある。
●(内接円の性質より。)
もしもIがAC上にないとしたら、この問題はかなりややこしくなりました。
「思い込み」は厳禁ですが、なるべく正確な図をフリーハンドで描いて、「ひょっとして」と考えてみることは大切です。
添付した図では、Iの位置をわざとACから少しだけずらしています。
問題文で与えられた仮定だけでは、きれいに直線上に来るかどうかわかりませんからね。
△ABEについて余弦定理より cos∠BAE= 17/32
0°<∠BAE<180°より sin∠BAE= 7√15 /32
(32分の7ルート15)
△ABC(面積)= 1/2 ・AB・AE・sin∠BAE= 21√15 /16
内接円の半径を r とすると、
△ABC= 1/2 ・(AB+BE+AE)・r
連立して、r= √15 /4
●ここからいよいよ大詰めです。
わからない長さはわからないまま解いて行きます。
与えられた内接円とAEとの接点を H とおくと、△IHAは ∠IHA= ∠R の直角三角形
△IAE= 1/2 ・AE・r = 3√15 /8
AH= AI・cos∠CAE= 7/8 ・AI
ここで△IHAについて三平方の定理を用いると
AI^2 = r^2 + 49/64 ・AI^2
これを解いて AI= 2
●一方、AFを求めます。
△FAB と △FDC は相似
(∠AFB = ∠DFC、
∠FAB = ∠FDC (円周角))
よって CF:BF = DF:AF = CD:BA = 2:4 = 1:2
AF= 2DF
また、△FAD と △FBC は相似
(∠AFD = ∠BFC、
∠FAD = ∠FBC (円周角))
よって AF:BF = DF:CF = AD:BC = (5/4):2 = 5:8
CF= 8/5 ・DF
AC= AF+CF = 18/5 ・DF =3
よって DF= 5/6
よって AF= 5/3
CF= 4/3
以上より IF= AI - AF = 1/3
よって IF:AI = 1:6
△IFE= 1/6 ・△IAE= √15/16
以上
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