No.1
- 回答日時:
背理法で
a^n+b^n+c^nで表せる自然数が無限にあるとすると
その中の任意の自然数をdと仮定すると
a^n+b^n+c^n=d
a,b,c,は任意の正の整数なので、a=b=cとすると
3a^n=d
となって
dは3の倍数になります。
この結論はa^n+b^n+c^nが任意の自然数になるとした仮定と矛盾します(d=3k+1、3k+2にはならない)。
よって、命題は正しい。
ご回答ありがとうございます!
a,b,c,は任意の正の整数なので、a≠b≠cとするとdは3の倍数にならない場合がありませんか?
あと3の倍数は無限にないですかね…?
No.2
- 回答日時:
a,b,c,は任意の正の整数なので、a≠b≠cとするとdは3の倍数にならない場合がありませんか?
a,b,c,は任意の正の整数なので、a≠b≠cとすることも可能です。その時はdは3の倍数になりません。
a,b,c,は任意の正の整数なので、a=b=cとするとも可能でdは3の倍数になります。
背理法は矛盾点を1つ示せばよいのです。
また、無限という量は定義されていないので、
3の倍数が無限量あるとすれば
自然数も無限量あるし
実数も有理数も無理数も虚数部も無限量あることになります。
このことから、無限量では、3の倍数、自然数、実数、有理数、無理数、虚数部も無限では区別されないことになります。
しかしながら、少なくとも
{3n|3の倍数}⊂{n|自然数}
と言えないと
{3n|3の倍数}={n|自然数}
となって数学が成り立ちません。
お答えいただき、ありがとうございます!
背理法で無限にあることを仮定、さらに、その下でa=b=cを仮定しているので仮定が2つあります。
そこで矛盾が出てきたとして、出てきた矛盾により否定することのできる仮定は2つ目のa=b=cではないですか?
No.3
- 回答日時:
a,b,c,は任意の正の整数、nは2以上の任意整数とするときは、仮定でなく命題の一部です。
命題にしたがっているa=b=cもa≠b≠cも命題にふくまれています(ここで言う任意とは自由に取りえる正の整数です)。仮定は、「a^n+b^n+c^nで表せる自然数が無限にあるとすると」だけです。
何度もすみません!
ただ、まだ少しもやもやするのですが、
仮定のある特別な場合において矛盾するから、一般的に仮定は間違いだといえるということですか?
この場合、
a=b=cで矛盾だから
a≠b≠cのときも含めて一般にa,b,cが正の自然数の場合でも間違いであると言える
ということですか?
No.4
- 回答日時:
a,b,c,は任意の正の整数、nは2以上の任意整数とするとき
a^n+b^n+c^nで全ての自然数を表せると仮定した場合
3a^nでも3b^nでも3c^nでも全ての自然数を表せるはずですが、3mは表せても
3m+1、3m+2は表せないのでダメと、
a≠b≠cの場合a<b<cとすることが出来ます。
この時
a^n+b^n+c^n=d<3c^n
dは3c^n未満で無限にあるとは言えません。
よって、この場合も仮定に矛盾するので、命題は正しい。
No.5
- 回答日時:
#命題の証明はできていないのですが…
konjiiさんには恐縮ですが、lasatoさんがもやもやしているということですので…
No1~No4は背理法の仮定や問題の解釈が間違っています。
この問題を背理法で考える際の仮定は
「a^n+b^n+c^nで表せない自然数が無限にある」を否定した
「a^n+b^n+c^nで表せない自然数が有限個しかない」です。
集合S={ x | x=a^n+b^n+c^n, a,b,c∊Z+, n∊N/{1}}の要素を"表現可能な自然数"と呼ぶことにすれば、「"表現不可能な自然数"が無限個ある」と主張しているのがこの命題です。
No.7
- 回答日時:
「a^n+b^n+c^nで表せない自然数が有限個しかない」と仮定したとき、
例えば、次のように議論を展開することができます。
"表現不可能な自然数"の中で最大のものをMとする。
つまり、Mより大きな自然数はすべて表現可能である。
Mより大きなべき乗数L^Mをとると、この数は表現可能であるから
L^M=A^N+B^N+C^N
が、ある自然数A、B、Cと2以上のある自然数Nについて成り立つ。
・・・・
などのように考察を重ねます。
こうして議論を進めていくうちに、例えば
フェルマーの最終定理に矛盾するような事実にたどり着けば
その矛盾から、命題が証明されます。
******
ちなみにですが、背理法の仮定が適切でないと指摘しただけで、
証明できた、とは私は言及していません。
「任意の:∀」や「ある:∃」の意味については十分に注意が必要です。
No.8
- 回答日時:
tsukita様
背理法の仮定
a^n+b^n+c^n
で表せる自然数が無限にある。
が
a^n+b^n+c^n
で表せない自然数が有限個しかない。
とどう適切でないか分かりません。
しつこいよいようですが背理法の仮定が適切でないと言えるのでしょうか教えて下さい。
よろしくお願いいたします。
また、
"表現不可能な自然数"の中で最大のものをMとする。(これだけで有限とは言えないと思います)
つまり、Mより大きな自然数はすべて表現可能である。
Mより大きなべき乗数L^Mをとると、この数は表現可能であるから
L^M=a^n+b^n+c^n
でMとLは期限が無いのでL^Mは無限にもなります。
これで、a^n+b^n+c^nが有限と言えるのでしょうか?
教えて下さい。
何度もすみません!この問題は数学コンクールの問題で、しかも完答者ゼロらしいのでとても難しいと思います!
konjiiさんの1つ目の回答を見て思ったのですが無限と任意って別物ではないですかね…
そして今回書いていたことについてですが、
表せないが無限
の否定は
表せるが無限
ではなく
表せないが有限
ではないでしょうか
ややこしいですが、
表せるが無限
を背理法で否定できても
表せるが有限
ということしか分からないと思います
また、aやnに上限がないことから少なくとも
表せるは無限
だと思います
もしまた何か方法を思いついたらぜひ教えてください!
No.9
- 回答日時:
最後に、この問題のある数学コンクールのウエブサイトを教えて下さい。
数学コンクールと言っても、日本数学コンクール、東進数学コンクール、自治体の数学コンクールや海外の数学コンクールなど沢山あります。よろしくお願いいたします。所で、∀には、任意の、と全ての、の両方の意味があります。
また、自然数の無限集合は存在しないともあります。
http://akademeia.info/index.php?%CC%B5%B8%C2%BD% …
フェルマーの最終定理はべき数3以上ですが、何か関連でもありますか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 高校の因数分解の問題です。解答の線の部分がなぜそうなるのか分かりません。私はb+Cを共通因数とみて、 3 2022/04/23 21:53
- 中学校 中3数学問題 解答見てもわかりません 2 2022/06/26 14:21
- 数学 2次以上の多項式g(x)であって, 任意の無理数に対して無理数の値を取るものは存在しないことを示せ. 8 2022/06/27 11:28
- 数学 算数得意な方、教えて下さい! 4で割ると3あまる数について答えてください。 (1)最も小さい数はいく 2 2022/05/26 14:56
- 数学 すべての自然数とすべての実数を1対1で対応させる(すべての実数を一列に並べる)方法について 3 2023/05/26 17:14
- 数学 数学の問題で、素数の性質を求めよという問題が出ましたが、整数であること と回答するとなぜか不正解にさ 8 2023/01/13 07:41
- 数学 数学(代数学)について。 整域Z[√-3]は一意分解整域ではないが、0と単元でないZ[√-3]の任意 4 2022/08/27 11:07
- 大学受験 ある大学の数1,Aの過去問なのですが回答に解説がなく困っています。誰か解説をつけて欲しいです(><) 1 2022/11/05 12:57
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- 数学 問題文 正n角形がある(nは3以上の整数)。この正n角形のn個の頂点のうちの3個を頂点とする三角形に 4 2023/03/22 14:57
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数学の問題です! 教えてくださ...
-
命題「PならばQ」でPが偽ならば...
-
反対称的な2項関係の個数
-
命題 nが合成数ならば、√n以下...
-
数学の背理法について質問です...
-
背理法と対偶証明の違いについて
-
x≠1⇒xの二乗≠1の真偽
-
この問題の逆 裏 対偶と真偽と...
-
高1の数学の問題です
-
命題を証明せよとはどういう意...
-
アキレスは亀を追い越せること...
-
a,bが有理数のとき、a+b√2=0 な...
-
背理法
-
強い仮定、弱い仮定、とは
-
命題の問題がわかりません・・...
-
数学の証明方法について 転換法...
-
n=3の倍数ならば、n=6の倍数で...
-
共分散の符号と相関係数の符号...
-
高校数学です!m,nを整数とする...
-
ドモルガンの法則、対偶、三段論法
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学での背理法について
-
命題「PならばQ」でPが偽ならば...
-
命題の真偽の問題で 命題〇〇に...
-
「逆もまた真なり」について
-
a>0、b>0⇔a+b>0、ab>0
-
強い仮定、弱い仮定、とは
-
n=3の倍数ならば、n=6の倍数で...
-
カントールの対角線論法につい...
-
対偶法による無理数の証明につ...
-
数学の論理学的な質問なんです...
-
数学の背理法について質問です...
-
証明問題です
-
数学で出てくる十分性と必要性...
-
命題を証明せよとはどういう意...
-
数学 x,yは実数とする。「xy+1=...
-
ドモルガンの法則、対偶、三段論法
-
有理数を文字置き→互いに素な整...
-
命題の証明で・・・
-
共分散の符号と相関係数の符号...
-
有界でないについて
おすすめ情報