物理の問題なのですが、 質量M、1辺の長さLの正方形の1様な板OABCから、全体の面積の1/4にあた

物理の問題なのですが、
質量M、1辺の長さLの正方形の1様な板OABCから、全体の面積の1/4にあたる正方形TQBRを切り取った残りの部分OAQTRCの重心の位置Gの座標を求めよ。
という問題で、くり抜いた部分の質量を－と考えるやり方で解きたいのですがやり方を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/10 20:32

直線OBに対して対称なので、重心はOB上にあることは自明としてよいですか？

そうであれば、Oの周りの「力のモーメント」を考えます。

切り欠く前のOABCの重心位置は、TなのでOから (√2 /2)L の距離。
切り欠く TQBR の重心位置は、Oから (3√2 /4)L の距離。

これはよいですね？
切り欠き後のOAQTRCの重心の位置GのOからの距離を k とします。

モーメントを考える力は何でもよいのですが、図の「下向き」に重力がかかっているときのOの周りの力のモーメントを考えれば、重力加速度を g として

・切り欠く前のOABCのモーメント（働く力は Mg, 腕の長さは (1/2)L）
　　A = Mg * (√2 /2)L/√2 = (1/2)MgL

・切り欠く TQBR のモーメント（働く力は (1/4)Mg, 腕の長さは (3/4)L）
　　B = (1/4)Mg * (3√2 /4)L/√2 = (3/16)MgL

・従って、切り欠き後のOAQTRCのモーメントは（働く力は (3/4)Mg, 腕の長さは k/√2）、その差し引きに等しいので
　　(3/4)Mg * k/√2 = A - B = (1/2)MgL - (3/16)MgL = (5/16)MgL

　従って
　　k = √2 * (5/16)(4/3)L = (5√2 /12)L

これはOからの距離なので、x, y 座標で表わせば ((5/12)L, (5/12)L) です。

最初から「x 座標」を使えば √2 が入らないですっきりするかな。G のｘ座標を X として

　(3/4)MgX = Mg*(1/2)L - (1/4)Mg*(3/4)L = (5/16)MgL
→　X = (5/12)L

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/10 23:59

OABCの重心Tの座標を(L/2、L/2)

TQBRの重心を(3L/4、3L/4)とすると
{M(L/2、L/2)-(1/4)M(3L/4、3L/4)}/{M-(1/4)M}=(5L/16,5L/16)/(3/4)=(5L/12,5L/12)

No.1 回答者： lasato 回答日時： 2018/10/10 20:11

重心周りの重力のモーメントが0だから、タイル一つをm、TQRBの重心をKとすれば、

GT×4m-GP×m=0
という等式が立てられます!

このやり方でもいいですが、この問題の場合は、ただ単に質量の等しい3つのタイルがあるだけなのでそれぞれの重心を結んでできる三角形の重心が全体の重心であることを使えば一瞬で終わりますよ