整式について。

f(x)=2x^3+x^2-5x+12,g(x)=x^2ー2x+2について考える。
f(x)/g(x)が整数となる自然数xをすべて求めよ。

解答はx=1,2,3です。よろしくお願いします。
教えていただけると幸いです。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/23 14:03

（2x^3+x^2-5x+12=(x^2ー2x+2)(2x+5)+x+2であるから）

f(x)/g(x)={(x^2ー2x+2)(2x+5)+x+2}/(x^2ー2x+2)=2x+5＋{(x+2)/(x^2ー2x+2)}
→ｘが自然数なら、2x+5は整数なので
{(x+2)/(x^2ー2x+2)}が整数となればよい
そのための必要条件は自然数に対して(x+2)≧(x^2ー2x+2)⇔(x^2ー3x)≦０
⇔x(x-3)≦０
⇔0≦x≦３でxが自然数なので1≦x≦３つまりx=1,2,3
あとはこの３つのｘに関して、それぞれf(x)/g(x)が整数になるか確認すればOK
(f(1)/g(1)が整数,f(2)/g(2)が整数,f(3)/g(3)が整数
となっているか否かの確認)