複素関数について

sin(z),cos(z)の値域は複素平面全体でよいのでしょうか?また,それはなぜでしょうか?
よろしければ,簡単な証明を書いていただけるとありがたいです.よろしくおねがいします.

No.3 ベストアンサー 回答者： Rossana 回答日時： 2004/11/16 22:48

＞その定義式からはどのように導けばよいのでしょう

＞か？
導くというか単純思考でいけばsin(z), cos(z)というのはexp(z)に複素数を掛けて単に足したものなので，sin(z)，cos(z)の値域はexp(z)の値域に起因します．ということでexp(z)の値域について考えればよいと思います．

この回答へのお礼

exp(z)の値域ですか、なんか複雑に考え過ぎていたみたいです。再びの回答ありがとうございます。

お礼日時：2004/11/16 22:56

No.2 回答者： Rossana 回答日時： 2004/11/16 16:40

なぜかは#1さんのおっしゃられる定義式で考えて下さい。

実数の範囲では
－1≦sin(x)≦1
でしたが，
複素数の範囲ではそのようになりません。
例えば，z=iのとき
cos(i)={exp(-1)+exp(1)}/2
2<exp(1)<3,
1/3<exp(-1)<1/2ですから

7/3<exp(1)+exp(-1)<7/2
⇔7/6<{exp(1)+exp(-1)}/2<7/4
⇔7/6<cos(i)<7/4

ということで
　1 ＜ cos(i)
となることもあるのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。＃１さんのおっしゃられる定義式からもう少し考えてみます。

お礼日時：2004/11/16 19:55

No.1 回答者： scale--free 回答日時： 2004/11/16 15:33

sin(z), cos(z)の定義式

sin(z) = ( exp(iz)-exp(-iz) )/2i,
cos(z) = ( exp(iz)+exp(-iz) )/2,

を使ってみて下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。その定義式からはどのように導けばよいのでしょうか？もう少し考えてみます。

お礼日時：2004/11/16 19:46