「次の不等式を証明せよりまた、等号が成り立つのはどのようなときか。a,b,c,dは正の数する」 高校

「次の不等式を証明せよりまた、等号が成り立つのはどのようなときか。a,b,c,dは正の数する」
高校数学のこの問題がわかりません。
相加平均と相乗平均の大小関係を用いることは習ったのですが証明の仕方がイマイチ、、

みんなの前で説明しないといけないのでわかるかたよろしくお願い致します(_ _)

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/03/14 23:05

b/a + d/c = (bc + da)/ac

a/b + c/d = (da + bc)/bd

従って、
(b/a + d/c)(a/b + c/d) = (bc + da)(da + bc)/abcd
= (abcd + (bc)^2 + (da)^2 + abcd)/abcd
= 2 + [(bc)^2 + (da)^2]/abcd
= 2 + [ (bc - da)^2 + 2abcd ]/abcd
= 4 + (bc - da)^2 /abcd ≧ 4

等号成立は
　bc = ad
のとき。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/03/16 02:15

#2 で示された方法を安易に使うと等号成立条件が違うときに甘い不等式になるので, あくまで「今の場合は」と強調しておくのが安全でしょうかね＞#3.

一般的には左辺を展開する.

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/03/15 08:40

相加平均・相乗平均の関係は逆数が登場する不等式で利用するのが有効です。

逆数同士をかけると1などの定数になってしまうからです。

この問題は逆数がいっぱい出てきますね。

具体的には No.2 さんの証明が判りやすいのではないでしょうか。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/14 23:55

相加相乗平均の関係より、

(b/a + d/c)/2 ≧ √((b/a)(d/c)　等号成立は b/a = d/c のとき,
(a/b + c/d)/2 ≧ √((a/b)(c/d)　等号成立は a/b = c/d のとき.
上記ふたつの等号成立条件が一致していることから、
(b/a + d/c)(a/b + c/d) ≧ 2√((b/a)(d/c)・2√((a/b)(c/d) = 4
等号成立は b/a = d/c のとき.