この⑵番について質問です。答えを見るとノートのようになっていたのですが、波線の部分がよくわかりません

この⑵番について質問です。答えを見るとノートのようになっていたのですが、波線の部分がよくわかりません。詳しく説明お願いします。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/04/13 12:23

割られる数(式）=(割る数)x（商)＋あまり・・・(a)　

という関係が成り立ちます。
従って、f(x)を（２）の式でわったきの商をQ(x)とすれば、割る数はｘの3次式だから、
あまり　はそれより次数が１つ低いxの2次式で
f(x)=(x+1)(x-1)²Q(x)+ax²+bx+c…①　と表せます。

次に、f(x)を(x-1)²で割った余りが3x　という事から、①を(x-1)²で割った余りは3xです。
ここで、具体例として
27=6x4+3を考えます。
これは(a)より、27を6で割ると商が4で余りが３と言う意味です。
もし、（27=6x(3+1)+3=6x3+6+3=6x3+9より）
27=6x3+9・・・(b)という形をしていた場合　その余りを考えるなら、
この式を逆順にたどって
6x3+9=6x3+(6+3)=6x(3+1)+3=6x4+3ですから、
「割る数６」で割り切れる(b)式の「6x3」の部分は、余りの判断には無関係で、６で割り切れない「9=6+3」部分があまりに関係してくることが分かります。
このとき、「9」の部分を6で割った余りが、(b)式を６で割ったあまりに一致しています。
これは、27=6x2+15や27=6x1+21と言う形をしている場合でも同様で、割る数の倍数となっている部分はあまりの判断には無関係で、割る数６の倍数でない15や21を６で割ればその余りが27のあまりに一致するというものです。


これを踏まえて、式①もこの例と同様で、右辺の(x+1)(x-1)²Q(x)は(x-1)²の倍数ですから、(x-1)²で割ったあまり3xは
ax²+bx+cを(x-1)²で割ったあまりと一致することになります。
つまりax²+bx+cを(x-1)²で割るとあまり3xということ
従って商をPとすれば
ax²+bx+c=P・(x-1)²+3xなので
f(x)=(x+1)(x-1)²Q(x)+ax²+bx+c=(x+1)(x-1)²Q(x)+P・(x-1)²+3x です。
よって、この仕組みを理解していれば、いきなり画像のような式を書けるというわけです

（ちなみに、画像の式は右辺を(x-1)²でくくり出せば
f(x)=(x-1)²{(x+1)Q(x)+P}+3xですから(a)の形としてみると,f(x)を(x-1)で割ると商が(x+1)Q(x)+Pで、余りが3xとなっています。）

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/13 10:52

f(x)を

(x-1)^2で割ったときの余りが3x
だから
f(x)={(x-1)^2}g(x)+3x…(f)
となるg(x)がある
g(x)をx+1で割った時の商をQ(x),余りをp
とすると
g(x)=(x+1)Q(x)+p
だからこれを(f)に代入すると
f(x)={(x-1)^2}{(x+1)Q(x)+p}+3x
∴
f(x)=(x+1)(x-1)^2Q(x)+p(x-1)^2+3x

f(x)をx+1で割ったときの余りが1だから

f(-1)=4p-3=1
4p=4
p=1
f(x)=(x+1)(x-1)^2Q(x)+(x-1)^2+3x
f(x)=(x+1)(x-1)^2Q(x)+x^2+x+1
∴余りは
x^2+x+1