ある数にnを加えると、約数の個数もn増加するような数は任意のnに対して必ず存在するか

先日友人に出された問題（疑問？）です。
たとえば10(約数の個数：4)に2を足すと12(約数の個数：6=4+2)となり、数の増加量と約数の個数の増加量が一致します。

このように「n増加すると約数もn個増える数」はすべてのnに対して存在するのでしょうか。
上の例でいうと、n=2の場合は10が一例となります。

例えば「10000を加えると約数も10000個増加するような数」なども存在するのでしょうか？
約数の個数に上限はないので、直感的には必ずどこかに存在しそうな気がしますが、すべての自然数についてこれが成り立つことの証明を与えるだけの知識がありません。

当方高校数学+大学一般教養までの知識しかありません。初歩的な問題でしたらすみません。

質問者からの補足コメント

• 問題の解答でなくても「数論のこういう分野の話だからこういう本を読んでみては」程度の情報でも構いません。

    補足日時：2019/05/24 02:15

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/05/26 02:27

こういう話はないような気がするなぁ. 「約数の個数」ってかなり不規則だから, 一般論に持ち込むのが大変.

n が奇数だと一方は平方数に限定できるけど, あんまりうれしくない.

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/05/26 08:25

n=1の時1(約数個数1)+1=2(約数個数2=1+1)

n=2の時10(約数個数4)+2=12(約数個数6=4+2)
n=3の時9(約数個数3)+3=12(約数個数6=3+3)
n=4の時26(約数個数4)+4=30(約数個数8=4+4)
n=5の時25(約数個数3)+5=30(約数個数8=3+5)
n=6の時74(約数個数4)+6=80(約数個数10=4+6)
n=7の時29(約数個数2)+7=36(約数個数9=2+7)
n=8の時82(約数個数4)+8=90(約数個数12=4+8)
なのでとりあえず
n=8までは成り立ちます

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/05/24 11:41

n=1の時1(約数個数1)+1=2(約数個数2=1+1)

n=2の時10(約数個数4)+2=12(約数個数6=4+2)
n=3の時9(約数個数3)+3=12(約数個数6=3+3)
n=4の時26(約数個数4)+4=30(約数個数8=4+4)
n=5の時25(約数個数3)+5=30(約数個数8=3+5)
なのでとりあえず
n=5までは成り立ちます

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/05/24 08:10

＞この問題の場合、例外を一つ見つければ良い。

たしかに。でも
＞１０に３を加えると１０の約数は４、１３の約数は１と１３の２つ
これは、
命題「n増加すると約数もn個増える数」はすべてのnに対して存在する
の反例にはなっていないのでは？
反例は、
命題　あるｎでは、「n増加すると約数もn個増える数」は存在しない
ですよね。例えばn=3であるならば、
「どんな数ｍを持ってきてもｍ＋３の約数がｍの約数より３つ増えることはない」
ことを証明する必要があると思いますけど。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/24 07:28

この問題の場合、例外を一つ見つければ良い。

１０に３を加えると１０の約数は４、１３の約数は１と１３の２つ
よって、常に成り立たない。