高校数学、円と直線・接戦の方程式の 問題です。 『次の円の接線の方程式と、その時の接点の座標を求めよ

高校数学、円と直線・接戦の方程式の 問題です。

『次の円の接線の方程式と、その時の接点の座標を求めよ。

円 x^2 ＋ y ^2 ＋ 2x ＋ 4y − 4 ＝ 0 の接線で、
直線 y ＝ − 1／2 x に垂直なもの 』

この問題なのですが、わからなく 解説を見たところ、
黄色く囲ったところが（このxの式は どこから来るのか ）わかりません。
教えていただけると嬉しいです！
よろしくお願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/06/22 12:24

うん。

解答が悪いですね。
画像の上から5行目、「整理して　５ｘ²＋２(２ｋ＋５)ｘ＋...」の式に、「・・・・②」と振っておいて、その黄色く囲ったところで、「②より」と書かないと。

①を円の方程式に代入したということは、その解が交点(接点)のｘの座標、ってことでしょ？
だからその解を出すのだけれど、二点で交わるのでは無く一点で接する場合は、二次方程式の解の公式のうちの、平方根部分が０になっているはず。そのことは黄色の上でやってある。
それで二次方程式の解の公式の平方根部分(D)を０としてやると、その黄色の式になる。やってみて。
この式の考え方は色々だけれど。
二次曲線の軸のｘ座標のことだよね、と言うこともできる。

そうやって説明をすっ飛ばした解答は、数学者になるんならひょっとするとそれでも良いのかも知れないけれど、それ以外のことをする人、数学を道具として使う人にとってはどうなんだろうと思います。
そんなの(高度な)常識じゃん、と言えなくも無いんですが、どうだろう。
それよりも、論理的な繋がりを持った、より多くの人が読めば判る解答を目指す方が、賢くなるんじゃないかなぁと思います。

②を二次方程式の解の公式で解き、且つ、平方根の中身は０なので、
ｘ＝{－２(２ｋ＋５)±√０}／{２・５}
＝－(２ｋ＋５)／５
これに③(黄色の一つ上の行ね、これもあった方が良さそう)を代入すると、．．．．．．

と書けば、誰が読んでも読み易いのでは。

この回答へのお礼

こんにちは、とても詳しく解説をありがとうございました！

よく理解できました、とても助かりました！

貴重なお時間を割いてくださり、本当にありがとうございました！

お礼日時：2019/06/22 16:32

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/22 11:35

5行目の　

整理して5x²+2(2ｋ+5)x+k²+4k-4=0
この式をAと名付けると
式Aは、求める接線と円の接点のｘ座標を求めるための2次方程式です
だから、式Aに解の公式を当てはめれば接点のx座標は出てきます。
ただ、それだと2度手間！
というのも、ax²+bx+c=0において解の公式は
x=(-b±√b²-4ac)/2a
または右辺の分母分子を2で割って(２で約分して）
x={-(b/2)±√(1/4)(b²-4ac)}/a={-(b/2)±√(b/2)²-ac)}/a
b/2=b'(b=2b')とおけば
x={-b'±√b'²-ac)}/a・・・(B)
(B)はb=2b'と置き換えた場合(ax²+bx+c=0→)ax²+2b’x+c=0についての解の公式ということになります。（2つ目の解の公式については教科書など参照！）
また、ax²+bx+c=0の判別式はD=b²-4acですから
解の公式はDを用いてx=(-b±√b²-4ac)/2a=x=(-b±√D)/2a と表すこともできます
同様に、b=2b'として、ax²+2b’x+c=0判別式は
D/4=b'²-ac(教科書参照）ですから
解の公式(B)版なら、x={-b'±√(D/4)}/a ・・・(C)と表すことが出来ます

このように判別式を求めた時は解の√の中身がD(D/4)であること利用すると、無駄がありません。
画像囲みもこれを利用しています
5x²+2(2ｋ+5)x+k²+4k-4=0と
ax²+2b’x+c=0を比較して
a=5,b'=(2K+5),c=k²+4k-4だから解の公式(B)から派生した(C)に当てはめると
x={-(2k+5)±√(D/4)}/5
ただし本問では、D=0(D/4=0)なのでで√の中身は０ですから
x={-(2k+5)±√0}/5=-(2k+5)/5
となります

この回答へのお礼

こんにちは！
とても詳しく解説をありがとうございました！
おかげさまで、理解できました！

貴重なお時間を割いて教えてくださり、本当にありがとうございました！

お礼日時：2019/06/22 16:33

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/21 21:34

2次方程式ax²+bx+c=0が重解を持つときは、ｘ＝-ｂ/2a

今回は、５ｘ²+2（２ｋ+5）+ｋ²+4ｋ-4＝０が重解を持つので、
x=-{2(2k+5)}/(２・５)=-{2(2・３√５+5)}/10=(-10-12√５)/10=(-5-6√５)5

この回答へのお礼

こんにちは！
貴重なお時間を割いて教えてくださり、本当にありがとうございました！

おかげさまで理解できました！

また機会がありましたら、よろしくお願いいたします！

お礼日時：2019/06/22 16:34