数学の問題がわかりません。「整数の性質」というところです。

数学の問題です。どうかよろしくお願いいたします。

nを奇数とする。modを使って証明せよ。
（1）n^2-1は８の倍数であることを証明せよ。
（2）n^5-nは3の倍数であることを証明せよ。
（3）n^5-nは120の倍数であることを証明せよ。


普通に解くのならわかりそうなのですが、modを使ってだとよくわかりません。

どうかよろしくお願いいたします。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/10/28 23:43

「普通に解く」のがわかるなら, 適宜 mod を使って書き換えるだけでできると思うんだけどなぁ.

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/10/28 23:33

(1) n=±１、±３ (mod8)

n²=1 (mod8)
n²-1=0 (mod8)

(2) n=0 , 2 (mod3)
n⁵=0 , 2 (mod3)
n⁵-n=0 (mod3)……①

(3) n=±１、±３ (mod8)
n⁵=±1、±3 (mod8)
n⁵-n=0 (mod8)……②

n=0 , 2 , 4 (mod5)
n⁵=0 ,2 , 4 (mod5)
n⁵-n=0 (mod5)……③

①、②、③より、n⁵-n は120の倍数。