唯一の素イデアルしか持たない環でもネーター環とは限らないということの例についてです。アティマクの14

唯一の素イデアルしか持たない環でもネーター環とは限らないということの例についてです。アティマクの141ページの例になります。

A=K[x_1,....,x_n,.....］
を体K上の可算無限個の不定元x＿nに関する多項式環とする。そのイデアル
I=(x_1,(x_2)^2,.....,(x_n)^n,.....)とする。
B=A/IとするとBはただ一つの極大イデアルを持ち、次元0の局所環となる。またBはネーター環ではない。あるのですがBの唯一の素イデアルとして(x_1,x_2,.....,x_n,.....)の像をとれば良いと有りました。

質問1

Bはただ一つの極大イデアルを持ち、次元0の局所環となる。のはなぜですか？

質問2

Bはネーター環ではないと言えるのは何故ですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/11/03 05:17

1)

M=(x_1,x_2,.....,x_n,.....)
とすると
Mの0でない要素はすべて1次以上の(定数項を持たない)多項式になるから
I⊂M⊂A
A/M=(同型)=K
だから
MはAの極大イデアルになる
自然な全射
π:A→A/I=B
を
π(x)=x+I
で定義すると
π(M)⊂≠A/I=B
だから
(x_1,x_2,.....,x_n,.....)の像
π(M)はBのただ一つの極大イデアルになる

2)
J(n)=(x_1,x_2,.....,x_n)
とすると
J(1)⊂J(2)⊂…⊂J(n)⊂J(n+1)⊂…
x(n+1)∈J(n+1)-J(n)
J(n)≠J(n+1)
J(1)⊂I
x(n+1)∈J(n+1)-J(n)-I
J(n)-J(n)-I≠φ
π(J(n))=J(n)+I≠J(n+1)+I=π(J(n+1))
だから
昇鎖列
π(J(1))⊂π(J(2))⊂…⊂π(J(n))⊂π(J(n+1))⊂…
は有限回で停止することはないから
Bはネーター環ではない