有理関数がC^∞級であることを示すにはどうすればよいですか？

有理関数がC^∞級であることを示すにはどうすればよいですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/08 02:17

有理関数ったって、分母が0になるところがあっちゃダメでしょう。

xの多項式の集合をP、Pのうちで「どのxについても値が0にならないもの」の集合をP*とし、Hを
　　H = { h | ∃f∃g (f∈P ∧ g∈P* ∧ h = f/g) }
として、
　　∀h ( h∈H ⇒ ∃q(q∈H ∧ dh/dx = q) )
を示す。
　見やすいようにdf/dx = f', dg/dx = g', dh/dx = h' と書けば
　　h' = (f'g - fg')/g^2
ここでf,gは多項式なので f', g'も多項式であり、また、多項式同士の積や和も多項式なので、
　　(f'g - fg') ∈ P
一方、g∈P* なので g^2 ∈P*。したがって、
　　h'∈H

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/08 07:43