ある年の世界の石油消費が3.3×10^20 J/年で年率3.8%で上昇していくと、何年で、この燃料資

ある年の世界の石油消費が3.3×10^20
J/年で年率3.8%で上昇していくと、何年で、この燃料資源の世界中の推定埋蔵量を消費しつくすことになるでしょうか。ここで燃料資源の残存埋蔵量1.5×10^22
Jとします。なお、年率3.8%でのt年後の石油消費は自然対数で表すと初期の石油消費に対して

exp(ln(1+3.8/100)t)

倍になります。

という問題が解けません。

私はexp(In(1+3.8/100)t)をどのように使うのかがわからなかったので、高校数学の数列のように
3.3×10^20×(1+3.8/100)^n=1.5×10^22
と式をたてて、nを求めようとしました。
答えは26.58なのですが、答えにたどり着けません。どなたかご回答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 最初の二文は余計に写してしまいました。問題に関係ないです。すみません。

    補足日時：2019/11/30 18:05

• すみません、やはり上の二文も問題文でした。

    補足日時：2019/11/30 18:07

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/12/01 18:23

No.1 です。

答の「違い」の原因を想像してみました。

ひとつは「１年目」を「今年」と考えるか、「来年」と考えるかの違いですね。
「今年から」と考えれば、等比数列の初項は「1」
「来年から」と考えれば、等比数列の初項は「1.038」
ということです。

#1 は「今年から」と考えています。

これを「来年から」と考えれば、

　Σ[k=1～n](1+0.038)^k = 1.5 × 10^22/(3.3 × 10^20) = 500/11　　　　①'

この左辺は、「初項 1.038、公比 1.038、項数 n」の等比数列の和ですから、公式から
　Sn = 1.038 * (1.038^n - 1)/(1.038 - 1)
　　= 27.316 * (1.038^n - 1)
となります。
これを①に代入すれば
　27.316 * (1.038^n - 1) = 500/11
→　1.038^n - 1 ≒ 1.664
→　1.038^n = 2.664
両辺の対数を取れば
　n*log(1.038) = log(2.664)
→　n = [log(2.664)]/log(1.038) ≒ 26.27
となります。

やっぱり微妙に違うなあ。
質問文に書かれた「26.58」は、#1 と #2 のちょうど中間ですねえ・・・。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/12/01 18:00

＞年率3.8%でのt年後の石油消費は自然対数で表すと初期の石油消費に対して

＞exp(ln(1+3.8/100)t)
＞倍になります。

なんで、こんな書き方をするのでしょうねえ？

　x = exp(ln(1+3.8/100)t)
として、両辺の自然対数をとれば
　ln(x) = ln(1+3.8/100)t
ですから
　x = (1+3.8/100)t　　　①
です。
これを、何故にわざわざ
　exp(ln(･･･))
の形で書いているのか、趣旨が分かりません。

なお、①式は、おそらく
　x = (1+3.8/100)^t
であって、これは銀行預金の複利計算と同じです。つまり、ｔ年後の石油消費量は、基準年の
　(1 + 0.038)^t
倍になるという「当たり前のこと」を言っているにすぎません。

従って、質問文に書かれた式も、おそらく

　exp{ ln[(1+3.8/100)^t] }

の間違いでしょう。

ということで、この「exp(ln(･･･))」という式は無視して解きます。

そのやり方の中で、あなたの書いた式
　3.3×10^20×(1+3.8/100)^n=1.5×10^22
は「n 年後の『年間消費量』が『残存埋蔵量』に等しくなる」ということなので題意とは違います。

題意は「ｎ年間の年間消費量の『積算値』が『残存埋蔵量』に等しくなる」」ということです。
これにするには
　3.3 × 10^20 × Σ[k=1～n](1+3.8/100)^(k - 1) = 1.5 × 10^22
としなくてはいけません。
つまり
　Σ[k=1～n](1+0.038)^(k - 1) = 1.5 × 10^22/(3.3 × 10^20) = 500/11　　　　①

この左辺は、「初項 1、公比 1.038、項数 n」の等比数列の和ですから、公式から
　Sn = 1 * (1.038^n - 1)/(1.038 - 1)
　　= (1.038^n - 1)/0.038
となります。
これを①に代入すれば
　(1.038^n - 1)/0.038 = 500/11
→　1.038^n - 1 = 19/11
→　1.038^n = 30/11
両辺の対数を取れば
　n*log(1.038) = log(30/11)
→　n = [log(30/11)]/log(1.038) ≒ 26.9
となります。

問題文に示された「26.58」とは違いますが、途中計算のしかたや途中での丸め方によるものかと思います。