星型図形のとげの数は奇数？

一筆書きの描き方でいわゆる星型の図形を描きますと普通の星型の５をはじめとして、いつもとげ（頂点？）の数が奇数になるように思うのですが、これは数学的にはどのように説明するのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： liar_adan 回答日時： 2004/12/23 18:54

ものすごく数学的に言うと、

回転群の生成元がいくつあるか…という話になるのですが、
それは置いておきます。

偶数の☆形でも一筆で書くことは可能です。
＃１さんが輪郭だけといっていましたが、
たとえば、正3角形を二つ組み合わせた六角形の星(いわゆるダビデの星)
も、「最初に外側」「次に内側」で、一筆で可能です。
でもそういう意味ではありませんね。

5角星形のように、一筆書きで星形を作るためには、
多角形のある頂点から、「隣以外の頂点」へ行く必要があります。
5角星形の場合は、5角形の1個離れた…つまり2つ先の頂点同士を結んでいます。
頂点を0～4で表すと、
0→2→4→1→3→0
と一周して、星形ができあがります。

ここで、6角形を考えてみます。
6角形の場合、隣以外の点というと2か3離れたところしかありません。
(4、5離れたところは、逆向きに2、1離れたところと同じ)
しかし、3離れたところは、180度向こう側なので、これを結んでしまうと星形になりません。
よって、6角形の場合も、2だけ離れたところを結ぶことになります。

しかし、ここで5角星形と事情が違ってきます。
5角星形では、頂点の数5と、結ぶ頂点の離れている距離2は、
互いに素でした。
つまり、最大公約数が1でした。
こういう場合、つなげていくとぜんぶの頂点がつながります。
ところが6角星形では、頂点の数6と、距離2では、
最大公約数が2です。
こう言う場合、つなげてもぜんぶの頂点は回れないのです。

つまり、6角形の星形を5角形のように描けないのは、
「6と2の最大公約数が1ではないから」です。

7角形星形を描くとしたら、通常は3離れた頂点同士を結びます。
最大公約数は1なので、一筆で描けます。

8角形星形の場合、3離れた頂点を結ぶことにすると、
8と3との最大公約数は1なので、一筆で描くことができます。

このように、偶数でも、角の数と最大公約数が1の
数を選んで、頂点を結ぶことができれば、
一筆書きの星形を描けます。

この回答へのお礼

私のハヤトチリを懇切丁寧に教えていただき大変感謝いたします．トゲの数が無限大になる図形を２角形と呼べるに違いないという(妄想？)ことを考えています．３角形から２．５角形(いわゆる星型）を経てトゲ（=角[カドでなくてツノ？］）の数が∞になる途中で奇数しか選べなかったらおかしいと思っていたのですが、おかげさまで勉強する指針を与えられた感じです．

お礼日時：2004/12/24 11:01

No.5 回答者： 8942 回答日時： 2004/12/23 23:04

これじゃダメ？

http://smash.s68.xrea.com/uploader/filez/3422.jpg

この回答へのお礼

どうもありがとうございました．参照させていただきます．

お礼日時：2004/12/24 13:43

No.3 回答者： noname#8708 回答日時： 2004/12/23 18:45

偶数の星も簡単に書けますよ。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。

お礼日時：2004/12/24 10:41

No.2 回答者： onakyuu 回答日時： 2004/12/23 18:42

そうとも限りませんよ。

たとえば線を引くたびに１３５度だけ折れると
角が４５度のとげを八個もつ星を書くことが
できます。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2004/12/24 10:39

No.1 回答者： gutugutu 回答日時： 2004/12/23 18:15

輪郭だけを描けば偶数の星も一筆で書けますが、こういうのは屁理屈になるのでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。言葉が足りませんでした．いわゆる星型を書く様式でトゲの数を増やしていった場合のことでした．

お礼日時：2004/12/24 10:33