y＝|x -3| +3|x +1|の最小値とそのときのxの解き方を教えてください

y＝|x -3| +3|x +1|の最小値とそのときのxの解き方を教えてください

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/03 01:53

絶対値を含む式は扱いづらいので、

x の範囲で場合分けして
式から絶対値記号をなくしてしまいましょう。
| x - 3 | は x - 3 ≧ 0 と x - 3 < 0 で場合分け、
| x + 1 | は x + 1 ≧ 0 と x + 1 < 0 で場合分け
すれば解消できますね。

x < -1 のとき
　y = -(x - 3) + 3( - (x + 1) ) = -4x,
-1 ≦ x < 3 のとき
　y = -(x - 3) + 3(x + 1) = 2x + 6,
3 ≦ x のとき
　y = (x - 3) + 3(x + 1) = 4x.

この後、各範囲での最小値を求めてから
それらを比較しても全体の最小値は求まりますが、
グラフを書けば一発で
x = -1 のとき最小値 y = 4 だと判ります。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/01/03 21:48

絶対値の中身が 正か負かで 場合分けします。

常に (x-3)<(x+1) ですから、
ⅰ (x+1)<0 → ｘ＜－1　→　|x-3|=-(x-3); |x+1|=-(x+1) 。
ⅱ (x-3)≦0≦(x+1) → -1≦x≦3 →　|x-3|=-(x-3); |x+1|=(x+1) 。
ⅲ (x-3)>0 →　3<x →　|x-3|=(x-3); |x+1|=(x+1) 。
の3つの場合に分けて 計算します。
ⅰ の場合、y=-(x-3)-3(x+1)=-x+3-3x-3=-4x 。
ⅱ の場合、y=-(x-3)+3(x+1)=-x+3+3x+3=2x+6 。
ⅲ の場合、y=(x-3)+3(x+1)=x-3+3x+3=4x 。
x=-1 のときは ⅰとⅱ は同じ値になります。
x=3 のときは ⅱと ⅲ は同じ値になります。
そして ⅰ は 左上から 右下に下がるグラフで、
ⅱとⅲ は 右上に 上がっていくグラフになります。
従って、最小値は ⅱ の範囲の 始まりの部分となります。
つまり、x=-1 のとき y=4 となります。