環RについてR加群の短完全列 0→L→M→N→0 α: L→M R単射準同型 β: M→N 全射単射

環RについてR加群の短完全列

0→L→M→N→0

α: L→M R単射準同型
β: M→N 全射単射準同型

とする。このときMがネーター加群であることの必要十分条件はL,Nもネーター加群となることであることを示したいです。

α':α^(−1)(M_i)→M_i∩α(L)
は全単射準同型だから
同型写像になるから
α^(−1)(M_i)とM_i∩α(L)は同型
{α^(−1)(M_i)=(同型)=M_i∩α(L)}
になる

Imα=Kerβ
だから
β':(M_i+α(L))/α(L)→β(M_i)
β'(x+α(L))=β(x)
は全単射準同型だから
同型写像になるから
(M_i+α(L))/α(L)とβ(M_i)は同型
{β(M_i)=(同型)=(M_i+α(L))/α(L)}
になる


L,Nがネーター加群であるとする
{M_i}がMの部分加群の昇鎖とすると

{α^(−1)(M_i)}はLの部分加群の昇鎖
Lがネーター加群だから
{α^(−1)(M_i)}は有限個しかないから
{M_i∩α(L)}は有限個しかない

{β(M_i)}はNの部分加群の昇鎖
Nがネーター加群だから
{β(M_i)}は有限個しかないから
{(M_i+α(L))/α(L)}は有限個しかない

{M_i∩α(L)}
と
{(M_i+α(L))/α(L)}
はともに有限個しかないから

{M_i}は有限個しかない


とありますが、{M_i∩α(L)}
と
{(M_i+α(L))/α(L)}
はともに有限個しかないからと言って
{M_i}は有限個しかないといえるのは何故ですか？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/12 17:04

第2同型定理から

M_i/{M_i∩α(L)}=(同型)=(M_i+α(L))/α(L)

だから
{(M_i+α(L))/α(L)}の同型でないものは有限個しかないのだから

[M_i/{M_i∩α(L)}]の同型でないものは有限個しかないのだから
{M_i∩α(L)}の同型でないものは有限個しかないのだから

ある上限の自然数mが存在して
m<jとなるjに対して
1≦i≦m
&
[
M_i∩α(L)=(同型)=M_j∩α(L)
]&[
M_i/{M_i∩α(L)}=(同型)=M_j/{M_j∩α(L)}
]
となるようなiが存在する

M_i∩α(L)=(同型)=M_j∩α(L)
だから

M_i/{M_i∩α(L)}=(同型)=M_j/{M_i∩α(L)}

だから

M_i=(同型)=M_j
∴
{M_i}の同型でないものは有限個しかない

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/12 11:19

第2同型定理から

M_i/{M_i∩α(L)}=(同型)=(M_i+α(L))/α(L)

だから

M_i=(同型)={M_i∩α(L)}(+){(M_i+α(L))/α(L)}

左辺の{M_i∩α(L)}が(異なるiに対して)同型でないものは有限個しかない
左辺の{(M_i+α(L))/α(L)}が(異なるiに対して)同型でないものは有限個しかない
だから

{M_i}も(異なるiに対して)同型でないものは有限個しかない