高校数学、総当たり戦の順位と勝ち数 画像の問題で、（2′）（3′）を追加したのですが、合っているかが

高校数学、総当たり戦の順位と勝ち数
画像の問題で、（2′）（3′）を追加したのですが、合っているかが分かりません。どなたか答を教えていただけませんでしょうか

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/01/17 11:47

ｎチームの間で総当たり戦を行うと、試合総数はｎC₂=n(n-1)/2

1試合行うごとに勝者が１チーム決まるので、ｎチームの勝数の合計は試合総数に等しいです。
全勝チームは、あるとしても1チームだけです。(残りのチームは全勝チームに必ず負けています)

(２´) 第5位のチームの勝数を最小にするためには、第1位から第4位のチームの勝数の合計をできるだけ多くし、残りのチームの勝数をすべて同じになるようにした場合です。(残りのチームは勝数が等しいので、全チームが第5位)

条件に合う、第1位から第4位のチームの勝数については、次のような場合が考えられます。
①第1位　全勝(ｎ-１)勝、第2位　(n-2)勝、第3位　(n-3)勝、第4位　(n-4)勝
②愛1位　(n-1)勝、第2位　3チームが(n-3)勝で三つ巴。
③第1位　3チームが(n-2)勝で三つ巴。第4位　(n-4)勝
どの場合も、第1位から第4位のチームの勝数の合計は(4n-10)勝です。

これより、残りのチームの勝数の合計は、n(n-1)/2－(4n-10)=(n²-9n+20)/2=(n-4)(n-5)/2
これを残りのチーム数(n-4) で割ると、(n-5)/2
ｎが奇数の時は割り切れるので、残りチームは全チーム(n-5)/2勝で第5位となります。
ｎが偶数の時は割り切れないので、残りチームの半数は、(n-4)/2勝、後の半数は、(n-6)/2勝とすると、第5位は(n-4)/2勝となります。

したがって、第5位チームの最小勝数は、
ｎが奇数の時、(n-5)/2勝
ｎが偶数の時、(n-4)/2勝

(３´) 第3位チームの勝数が最大になるときは、上位2チームの勝数が最大のときです。
①第1位　全勝(ｎ-１)勝、第2位　(n-2)勝
②第1位　２チームが(ｎ-2)勝
どちらの場合も、第3位チームの勝数が最大になる時は、(n-3)勝
(②の場合、３つめのチームも(n-2)勝となることはありますが、その時は第1位になってしまいます)
したがって、第3位チームの最大勝数は、(n-3)勝

この回答へのお礼

ありがとうございます。自分の出した答えとあっていまして、安心しました。

お礼日時：2020/01/17 12:21

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/01/15 11:57

2' 0

3' (n^2-n-2)/6を切り捨て
かな（たぶん）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2020/01/17 12:21