
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
線形変換は、回転、拡大、鏡映だけの合成で表せるとは限りません。
ジョルダン標準形を学んだのであれば、変換行列のジョルダン標準形が
2次以上のジョルダン胞を持つ場合にどうなるか、考えてみましょう。
回転、拡大、鏡映の表現行列は、どれも対角化可能ですから、
その合成で対角化不能な変換は作れません。
最も簡単な例として、2次のせん断変形、例えば
1 3
0 1
などを考えてみればよいです。
赤枠の変換は対角化可能で、ジョルダン標準形が
1 0
0 √3/2
ですから、「拡大」として非相似拡大も許すならば
回転、拡大、鏡映の合成で表すことはできます。
No.2
- 回答日時:
先程の回答Xの式おかしかったので、無視してください
そもそもの変換がおかしい気がします
X,Yをx,yをπ/4回転したものとする
つまりx,yはX,Yを-π/4回転したものなので
x = (X+Y)/√2, y= (X-Y)/√2
これを代入すると
(3X^2 + Y^2)/2 = 4
3/8 X^2 + 1/8 Y^2 = 1
つまり、縦長の楕円
これを45°回転したのが求めたい図形
なぜ元々π/4回転したものをX,Yと置いたかに付いては標準化とかで調べてください
元々の行列も根性出せば回転と拡大で表せたのかな・・・
No.1
- 回答日時:
剪断変換しているので、その3つで変換するのは無理です
Yはy軸の拡大
Xはy=-x/2の直線
への変換なので、回転、拡大、鏡映では無理です
回答ありがとうございます、タブレットでの返信は個別補足が出来ないので、お礼欄で追加質問させてください。別の聞き方をさせていただくと、x∧2+xy+ y∧2= 4 のあらわす図形を調べるには、どうすればよいですか?(線形代数の教科書だと、2次形式にたいして、画像のように平方完成して、一次変換してとらえると、その表現行列が、回転行列で楽にその図形の様子がとらえらえるケースしか載っていないので、困っています)
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