たかだか可算集合の部分集合はたかだか可算集合である。これを証明するのに選択公理は必要ですか？ 写真の

たかだか可算集合の部分集合はたかだか可算集合である。これを証明するのに選択公理は必要ですか？
写真の証明では選択公理を使っていませんが良いのですか？

質問者からの補足コメント

• 続きの写真です

  
    補足日時：2020/03/19 16:44

• さらに続きの写真です

  
    補足日時：2020/03/19 16:44

• 一番下に　この手続きをどこまでも続けていく
  とありますが、これが選択公理を用いなければ不可能かと思います

    補足日時：2020/03/20 00:20

• 自然数が整列可能であることを言うには選択公理が必要なのではないですか？

    補足日時：2020/03/24 08:21

• 帰納法で無限回の操作が出来ることが保証される理由を詳しく教えてください

    補足日時：2020/03/27 14:53

• 対象がNの部分集合とありますが、対象とは何のことですか？

    補足日時：2020/03/27 14:55

• 帰納法では無限回の操作を終えることができないように思います

    補足日時：2020/03/27 15:01

• 途中に出てくる集合はどこまでいっても「自然数の部分集合」でしかない
  ↑
  これは選択公理なしに言えるのですか？

    補足日時：2020/03/28 12:38

• 選択公理を使う場面はどのような場面なのですか？

    補足日時：2020/03/28 15:07

• 可算無限個の元を一斉に取り出す必要があるため、選択公理は必要なのでは？

    補足日時：2020/03/28 15:18

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/24 14:19

＞自然数が整列可能であることを言うには選択公理が必要なのではないですか？

自然数の定義のしかたによっても話は違うでしょうが、
ペアノの自然数であれば必要ありません。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/28 00:22

途中に出てくる集合はどこまでいっても「自然数の部分集合」でしかないから, それを (定義から) 整列可能であるとするならいつでも最小値が取れる.

「帰納法では無限回の操作を終えることができないように思います」っていわれても, どうしてそう「思う」のかがわからんと... というか, 「無限回の操作」っていつ「終わる」んだろう.

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/20 01:37

最小な元をとることについては、

自然数の集合 N が定義により整列可能であることから選択関数は不要です。
この手続きをどこまでも続けていくについては、
対象が N の部分集合なので数学的帰納法だけで済みます。
いづれにせよ、選択公理は不要です。

あなたの考えている方向で、選択関数を使って処理するにしても、
この問題は可算選択公理だけで済みます。
可算選択公理は、選択公理より真に弱い公理で、
ZF上、選択公理を満たさないが可算選択公理は満たすモデルの存在が知られています。
今回は、それも不要なんですけどね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/19 23:31

具体的にはどの辺が不安なのでしょうか.

No.1 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2020/03/19 17:10

真部分集合なら証明不要ではないんかの。

「真部分集合の定義から高々可算無限である」と言って良いのとちゃいまっか。