リー微分、多様体の基礎

（φーｔ）＿＊Yは多様体M上のベクトル場Yの各点の接ベクトルを１パラメータ変換群φ＿（－ｔ）：M→M（微分同相写像）で写してできたベクトル場です。
このとき、リー微分が画像１枚目のピンク下線部分のように定義されます。
画像２枚目の黒下線の言っていることがよくわかりません。（１７．３９）において、何と何を交換して計算しているのでしょうか？

質問者からの補足コメント

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  ２枚目です。よろしくお願いします。ちなみに多様体の基礎のｐ２５６です。

  
    補足日時：2020/04/02 01:40

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  回答ありがとうございます。自分の理解力が正しいのかわからないのですが、添付した画像の{}をｆに施すのを｛｝のうち赤部分をｆの施しそれから緑の操作(極限をとる）をやってもＯＫということですか？またこのようなことが許されるのは、なぜですか？ （(φ_-1)_* Yの局所座標表示を見てもピンときません）

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/04/02 17:22

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/02 17:46

補足の式は、No.1 の式と同じことを言っていると思います。

なぜこれが許されるか？というのは、つまり
なぜ (17.39) が成り立つか？ということなので、
質問の二枚の写真の間の部分に説明してあったでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます、確かに解決できました

お礼日時：2020/04/02 17:49

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/02 10:09

(17.39) の左辺は、Lx(Y) を f に作用させたもの。

Lx(Y) は、(17.37) にあるとおり (φ_-1)_* Y を t で微分したものです。
つまり、左辺は (φ_-1)_* Y を t で微分したものを f に作用させたものです。
一方、右辺は、(φ_-1)_* Y を f に作用させたものを t で微分したものです。
この二つが等しいと言っているわけです。

{ (d/dt) (φ_-1)_* Y } f = (d/dt) { (φ_-1)_* Y f } というように、
d/dt の (φ_-1)_* Y に対する左作用と
f の (φ_-1)_* Y に対する右作用の順番を交換しているとも言えますね。