2直線の交点を通る直線について k(ax+by+c)+(a´x+b´y+c´)=0 のkがなぜどんな

2直線の交点を通る直線について
k(ax+by+c)+(a´x+b´y+c´)=0
のkがなぜどんな値をとってもいいのですか？
解説をお願いします。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/27 13:48

k がどんな値をとっても、

(x,y) が ax+by+c=0 と a´x+b´y+c´=0 を満たすのであれば
k(ax+by+c)+(a´x+b´y+c´)=0 は成り立ちます。
よって、k がどんな値でも k(ax+by+c)+(a´x+b´y+c´)=0 は
ax+by+c=0 と a´x+b´y+c´=0 の交点を通ります。

だから、2直線の交点を通る直線を
k(ax+by+c)+(a´x+b´y+c´)=0 で表そうとするとき、
k はどんな値でもいいのですが、k が任意の実数値をとるだけでは
実は十分ではありません。この式では、k をどんな値にしても
交点を通る直線のひとつである ax+by+c=0 を表せないからです。
問題によっては、この点に注意する必要があります。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/27 11:35

直線①・・・(ax+by+c)＝０

直線②・・・(a´x+b´y+c´)=0とします
①②の交点を(s,t)とすると
(as+bt+c)＝０⇔k((as+bt+c)＝０…③
(a´s+b´t+c´)=0…④
が成り立つので
③+④より
k((as+bt+c)+(a´s+b´t+c´)=0です
これは、k(ax+by+c)+(a´x+b´y+c´)=0　にx=s 、y=tを代入した形ですから
すなわち、直線：k(ax+by+c)+(a´x+b´y+c´)=0　は2直線①②の交点を通ると言えます

さて、k(ax+by+c)+(a´x+b´y+c´)=0⇔(ka+a')x+(kb+b')y+kc+c'=0というように整理してみると
k=0のとき、(a´x+b´y+c´)=0だから　この時は直線②そのものを表しています
また、ｋの数値をいろいろに変化させると　xの係数とyの係数の比がいろいろに変わりますから、傾きがいろいろなものに変わり得るということです。
傾きは変化するが(s,t)は必ず通るということで
k(ax+by+c)+(a´x+b´y+c´)=0⇔(ka+a')x+(kb+b')y+kc+c'=0　は
①②の交点(s,t)を通るいろいろな傾きの直線(交点を通る直線群）であることが分かります

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/05/27 11:21

その式が直線を表している限り、kの値に制限はありません。

当然です。
逆に、何か特定の値をとってはダメなの？　理由は？

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/05/27 10:00

一点を通る直線について、傾きは何でもありだって話ですね。