No.2ベストアンサー
- 回答日時:
企業で統計を推進する立場の者です。
n個の商品があったときに出てくるルール数はn個のアイテムから2個取る「組み合わせの数」なので、総ルール数はnの階乗の式で表されますが、それが指数関数的になる理由は、#1さんの説明のとおりです。
厳密には等比数列ではないので何か(公比)のn乗という指数関数ではなくそれ以上の増え方になります。「組み合わせ爆発」という現象です。
では、何万点(それ以上)もの商品があるAmazonなどでは、どういうアルゴリズムを使っているんだ?となりますが、これはリテールデータ分析(購買行動の分析)の中の推薦システム(お薦め商品とかを提示するシステム:とんでもない計算量を瞬時にこなしている)におけるデータと探索のトレードオフ問題であり、離散最適化問題(不要な線は切る)という領域になります。
ご質問の趣旨から逸脱しましたが、次にぶつかる壁だと思いましたので、ついつい書いてしまいました。すみません。
No.1
- 回答日時:
正確かどうかはわかりませんが、定性的な説明です。
今すでに n 個のアイテムがあったとしましょう。
そこに新しいアイテムを1個追加します。
そうすれば、既存の各々のアイテムが持っていた「アソシエーション」I 個に対して、新しく追加したアイテムからそれにつながる「アソシエーション」は n 倍つまり nI 個になります。
つまり、アイテムに対するアソシエーション数 I(n) の増え方は、そのときのアソシエーション数にアイテム数 n をかけたものになります。
式で書けば、
dI/dn = nI ①
これは数列の漸化式でも書くことができると思います。
I(n) = nI(n - 1) ( I(1) = 1, n≧2 ) ②
n がどんどん大きくなるので「等比」数列ではありません。
①から I を求めれば
∫(1/I)dI = ∫ndn
→ log|I| = (1/2)n^2 + C1 (C1:積分定数)
よって、I > 0 なので
I(n) = e^[(1/2)n^2 + C1] = C・e^[(1/2)n^2] (C = e^C1)
ということで指数関数になりますね。
「微積分」が分からなくとも、②の数列の漸化式で、仮に「等比」数列として(公比を最低の 2 に固定して増加させない)
I(n) = 2I(n - 1)
としても
I(n) = 2^n・I(1)
で「2^n のネズミ算式に増えていく」ことがわかりますよね。
②では公比が「2 から順次大きくなっていく」のですから、増え方はそれよりも大きいことになります。
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