収束する数列は有界であることの証明で、わからないところがあります

証明
数列 {an} が収束するとする。α := lim（n→∞）an とおく。
収束の定義から ε = 1 > 0 に対して
N ∈ N を ∀n ≥ N, |an− α| < 1 を満たすようにとれる。
∀n ≥ N に対して（←①）|an− α| < 1 ⇔ α − 1 < an < α + 1
なので U := max{a1, a2, . . . , aN−1, α + 1}, L := min{a1, a2, . . . , aN−1, α − 1} とすれば，
L ≤ an ≤ U (∀n ∈ N)
となるので {an} は有界である。

私がわからないのは、
・なぜ、U := max{a1, a2, . . . , aN−1, α + 1}や、
L := min{a1, a2, . . . , aN−1, α − 1}というように置いたのか、という点です。
それぞれ、α＋１とα－１が入っているためL ≤ an ≤ Uとなることはわかるのですが…。

・また、①で「∀n ≥ N に対して」と言っているので、①以降は全部n ≥ N というもとでの話だと思うのですが、結論として「∀n ∈ Nに対して」L ≤ an ≤ U となってしまうのはなぜでしょうか？？

もしわかる方いらっしゃいましたら、教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/06/21 20:11

α − 1 < an < α + 1　が言えるのは、n≧Nのnについてだけです。

したがって、n<Nつまり、
n≦N-1のnについて、有界を言わないと、すべてのnについて有界とはいえません。

そこで、U'= max{a1, a2, . . . , aN−1}, L'= min{a1, a2, . . . , aN−1} とすれば
n≦Nについて、L'≦an≦U' が言えます。さらに

U=max{α + 1, U'}=max{a1, a2, . . . , aN−1, α + 1}
L=min{α + 1, L'}=min{a1, a2, . . . , aN−1, α − 1}
とすれば　すべてのnについて
L ≤ an ≤ U
となります。