y=√xがx→aの時√aに収束することを証明せよ が分かりません ちなみにコーシーの収束性の定義を使

y=√xがx→aの時√aに収束することを証明せよ
が分かりません
ちなみにコーシーの収束性の定義を使うみたいです

質問者からの補足コメント

• a>0です

    補足日時：2020/07/02 11:03

• 大変申し訳ありません
  ∀ε>0 に対して Nが存在し n>Nなるすべてのnに対して |An-α|<ε が成立する。
  という理解ですがおかしいでしょうか？

    補足日時：2020/07/02 11:45

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/02 19:03

a>0

任意のε>0に対して
δ=ε√a
とすると
|x-a|<δとなる任意のx≧0に対して

|√x-√a|=|x-a|/|√x+√a|≦|x-a|/√a<δ/√a=ε

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2020/07/03 02:46

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/02 12:11

それ、数列の収束ね。

関数のときは、
任意の正数 ε に対して正数 δ が存在し
| x - a | < δ なるすべての x に対して | f(x) - f(a) | < ε が成立する。

f(x) = √x, | x - a | < δ ならば、
| f(x) - f(a) | = | √x - √a | = | x - a |/{ √x + √a } < δ/{ √(a-δ) + √a }
< δ/{ 2√(a-δ) } = δ√(a-δ)/{ 2(a-δ) } < δ√a/{ 2(a-δ) }
だから
δ√a/{ 2(a-δ) } < ε となるように δ をとれば | f(x) - f(a) | < ε が成り立つ。
それには、 δ < 2εa/{ 2ε + √a } であれば十分である。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2020/07/03 02:45

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/02 11:15

じゃあ、まず、コーシーの収束性の定義を補足に書いて。

書けるよね？ 書けなきゃ、本を読む。