三角形の重心について教えて下さい。 向かい合う辺を二等分する線を描くと角も二等分しているような気がす

三角形の重心について教えて下さい。

向かい合う辺を二等分する線を描くと角も二等分しているような気がするのですが、そうとは限らないのでしょうか？

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/16 14:39

直径２の円の中心（つまり直径の中点）から　

直径とは重ならない半径を描きます
長さ２の直径の端点をA,B
中心（中点）をM
MからABに重ならないように引いた半径の端点をCとすると（円周上にA,Bと異なる点Cを取ると）
AM=CM
BM=CMですので
△AMCは2等辺三角形で　∠CAM=∠ACM
同様に∠MBC=∠MCB
このことから、このケースでは三角形ABCの頂点Cから対辺の中点Mに中線CMを引いた場合
CMが∠Cの2等分線であるためには
∠CAM=∠MBCでなければいけない
すなわち三角形ABCはAC=BCの2等辺三角形でないとならないということになります
しかしながらCの位置の取り方によっては
AC=BCとはなりませんから
∠CAM=∠MBCには必ずしもならない　⇔　必ずしも∠ACM=∠MCBとはならない
つまり　CMは必ずしも角Cの2等分線にはならないという事が言えます

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/07/16 13:16

#4です。

間違いの修正
>BC:CD=AB:AC
正しくは
BD:CD=AB:AC
です。

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/07/16 11:13

△ABCにおいて∠Aの二等分線とBCの交点をDとすると

BC:CD=AB:AC
になります。△ABDと△ACDの面積の関係から証明できます。

No.3 回答者： ななのたか 回答日時： 2020/07/16 09:28

No.2さんをさらに発展させて…

1つの角にだけ注目するなら、向かい合う辺を二等分する線を書くとその角も二等分しているのは、二等辺三角形の頂点(等しい長さの2本の辺に挟まれた角)だけです。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/07/16 08:07

向かい合う辺を二等分する線を描くと角も二等分しているのは正三角形だけです。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/07/16 05:38

鈍角三角形で、鈍角を挟む2辺の長さの差が大きい三角形で確かめてみて下さい。