数Ⅱ 三角関数 問 tan1°は有理数か調べよ。 解答 tan1°が有理数であると仮定すると,2倍角

数Ⅱ 三角関数

問 tan1°は有理数か調べよ。

解答
tan1°が有理数であると仮定すると,2倍角の公式
tan2α=2tanα/(1-tan²α)
をくり返し用いることにより
tan2°, tan4°, tan8°, tan16°,tan32°, tan64°
はすべて有理数となる。
よって
tan60°=tan(64°-4°)
=tan64°-tan4°/(1+ tan64°tan4°)
であるから,tan60°は有理数となる。
一方,tan60°=√3であり√3は無理数であるから矛盾が生じる。したがって,tan1°は有理数ではない。

･どうしたらtan2α=2tanα/(1-tan²α)からtan2°, tan4°, tan8°, tan16°,tan32°, tan64°はすべて有理数となると分かるのか？

･なぜtan60°を使ったのか？ が分かりません。。

分からなくて困っているので教えて下さい！
よろしくお願いします☺︎

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/21 16:25

tan の加法公式 tan(α+β) = (tanα + tanβ)/( 1 - tanαtanβ) より、

tanα と tanβ が両方とも有理数であれば、 tan(α+β) は有理数になります。
これにより、 tanα が有理数であれば、数学的帰納法によって
任意の自然数 ｎ について tan(nα) は有理数であることが示せます。
α = 1° にこれを適用すると、tan 1° が有理数なら tan 自然数° がみな有理数となります。
tan 自然数° で値が無理数であるものを見つけることができれば、
背理法により tan 1° は有理数でないと結論できます。
質問文中の解答では、tan60° が無理数であることを使っていますが、
tan30° や tan45° が無理数であることを利用しても全く同じことです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます☺︎
助かりました！

お礼日時：2020/08/22 10:22

No.2 ベストアンサー 回答者： notn 回答日時： 2020/08/21 16:40

解答は以下の2つを自明としているんでしょうね。

（証明するのも簡単ですが）
1.有理数同士の四則演算は有理数になる。
2.√3は無理数である。

1つ目の質問に答えます
tan2α=2tanα/(1-tan²α)
これは右辺が有理数同士の四則演算の組み合わせになっているだけなので、左辺は有理数であると言えます。

2つ目の質問に答えます
tan60°を使ったのは√3は無理数であることを自明としているからです。1/√3が無理数であることも自明とするならばtan30°を使って、tan30°=tan(32°-2°)とやってあげても同様に解けます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます☺︎
助かりました！1番分かりやすかったのでベストアンサーに選ばさせてもらいます。

お礼日時：2020/08/22 10:23

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/21 19:04

質問文中の解答で特に 60° を使っている理由は、おそらく

No.1 に書いた tan(nα) がみな有理数になる証明を避けて
倍角公式から tan(α2^k) が有理数になることだけを示したため、
tan(60°) = tan(64°-4°) = (tan(1°・2^6) + tan(1°・2^2)/(1 - tan(1°・2^6)tan(1°・2^2)) と
tan(α2^k) だけを使って無理数の tan が作れることが利点だと思ったからでしょう。たぶん。

でも、tan(α2^k) が有理数になることだけを示すのにも、正式には帰納法が必要なので、
どうせだったら、倍角公式の代わりに加法定理を使って tan(nα) がみな有理数になることを
示してしまえばよかったのにと思います。
そうしていれば、tan60° でなく tan30° や tan45° を利用しても全く同じことだったのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
助かりました！

お礼日時：2020/08/22 10:23

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/21 23:51

本質的に同じだけど 60° よりも 30° の方が 1回少なくなるような気はするな.

勇み足だろうけど tan 45° はどう使うんでしょうか＞#3. 45次方程式でも解く?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
助かりました☺︎

お礼日時：2020/08/22 10:24