大学物理 楕円体の慣性モーメントについて

質量Mで均質な、半径の長さがa,a,bの楕円体(卵のような形)の慣性モーメントについて質問です。
①重心を通り対象軸から45°傾いた軸の周りの慣性モーメントとその求め方を教えて欲しいです。
②対称軸と垂直で重心を通る軸周りの慣性モーメントとその求め方を教えて欲しいです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/09/11 07:31

楕円体の慣性テンソル、

慣性テンソルから任意軸の慣性モーメントの計算(n・In)
いずれも、剛体力学の比較的ボピュラ一なトピックです。

力学の教科書をみましょう。
#ここで行列書くのはなかなか困難なので・・・
#mathjax入力とか作って欲しい。

No.2 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/09/10 17:40

重心を通る対称な軸を見つけて、主慣性モーメントを求めて慣性テンソルを作ります。

その慣性テンソルに座標回転の回転行列を演算します。
座標回転させた慣性テンソルの対角成分が慣性モーメントです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/10 10:05

いろいろな形状の剛体の慣性モーメントを求めるには、

・質点の慣性モーメントは I = mr^2 である
ということを理解した上で（一生に1回は自分で導出してみること）
・剛体を、その剛体を表現するのに適した座標系で「微小体積」に分割する
・その「微小体積」を「質点」とみなして慣性モーメントを求める
・その「微小体積」を「剛体」全体にわたって足し合わせる（連続体なら積分する）
ことで求めるのが基本です。

典型的な剛体である「棒」とか「円盤」とか「円環」みたいなものは、一度導出すればあとは「公式」みたいに使えばよいと思いますが、「複雑な形状であってもこうやれば求まる」という基本を押さえておけば、怖いものなしだと思います。

また、必要に応じて、計算しやすい座標系で慣性モーメントを求め、その回転軸を平行移動して目的とする回転軸周りの慣性モーメントとする「平行軸の定理」を使うと適用範囲が広がります。

あとは、どのように座標軸をとって、「微小部分」の質量と回転軸からの距離をどう表すかの「工夫」のしかただけの問題です。

「楕円体」の「対称軸周り」の慣性モーメントは求められますか？　①②ではその「微小体積」ごとの「回転軸からの距離」が変わるだけです。
与えられた楕円体の式は、ｚ軸を対称軸とすれば
　x^2 /a^2 + y^2 /a^2 + z^2 /b^2 = 1
です。（適当に変数変換すれば「球」の式にできます）
①②ではその「微小体積」ごとの「回転軸からの距離」が変わるだけです。