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です。  0.008020 の有効数字は何桁か

答えは4桁らしいのですが、どういうことですか?

それと有効数字を考慮して, 積 2.02×0.13 を計算する.  報告する値はどれか. 自分で計算したら0.2626になったのですが、答えは0.26です。どういうことですか?
教えてください‼️

A 回答 (5件)

有効数字の問題は、中高辺りではテキトーに少ない授業時間でしか教えないです。


その中で、習得しないといけないし、有効数字(学校の単元だけの話ではない)には色々と問題を抱えている部分があります。

まず、 0.008020 について。
0.008020 ← 小数3桁目に ”8” という値があり、ここから有効数字の桁数を数える。
小数5桁目に ”2” という値があり、これは有効数字の3桁目になるが、ここで有効数字が終わりではない。
小数6桁目に ”0” という値(空位の意味)があり、これは、この小数6桁目も有効数字として有効だと示している、よって 0.008020 は ”8” から数えて 有効数字4桁ということになる。

もし 0.0080200 なら 有効数字5桁になるし、0.00802 なら 有効数字3桁になる。

表記の仕方でも、0.8020×10^-2 が良いのか 8.020×10-3 が良いのか 等で色々と問題というか好みや慣例があるが今回は説明しない。
説明だけで一つの質問以上になります。


>有効数字を考慮して, 積 2.02×0.13 を計算する

計算したら 0.2626 ← ここまでの計算は絶対にすること。有効数字の丸め方で使うことがあるのでとりあえず計算した方が良い。
有効数字は、問題で与えられた数字、この場合 2.02 と 0.13 の2つ のうち、桁数が小さいな方を有効数字とするのが決まり、即ち 0.13 の小数2桁に有効数字2桁としなければならない。
計算ででた 0.2626 で、小数点3桁目の ”2” を四捨五入して、0.26 が答えとなる。

仮に問題で 2.02×0.130 だった場合 両方とも 有効数字3桁 になるので 答えは 0.263 となる
また 2.020×0.130 だったら 有効数字3桁の 0.263
2.020×0.1300 だったら 有効数字4桁の 0.2626 が答えとなる

この計算は単純な四則演算の積なのであまり大きな問題にはならないが、高校で習う三角関数や指数対数関数が入った場合、有効数字がどうなるのかは議論の余地があるのだけれど、
未だに専門の学会で結論が出ていません。それゆえ、中高では、テキトーに教えることになってしまいます。
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有効数字は、正式な誤差表示・誤差評価をせずに、機械的に「桁数」だけである程度の精度表示をする簡易な方法です。


あまり厳密な議論をしてもしょうがないので、下記のようなサイトを参照してみてください。

https://eman-physics.net/math/figures.html

>有効数字を考慮して, 積 2.02×0.13 を計算する.

これは
・2.02:信用できる数字は「202」の3桁、4桁目には誤差を含む、つまり 2.02 ± 0.005
・0.13:信用できる数字は「13」の2桁、3桁目には誤差を含む、つまり 0.13 ± 0.005
ということなので、かけ算の結果はその小さい方の「信用できる数字は2桁、3桁目には誤差を含む」とみなします。
従って、
 2.02 × 0.13 = 0.2626 ≒ 0.26
とするのが「有効数字」の考え方です。

実際に機械的に計算してみれば
  (2.02 ± 0.005) × (0.13 ± 0.005) = 0.2626 ± 0.001075 + 0.00000025
となるので
 0.2616~0.2636
のどこかということで、小数点以下3桁目は確定しませんよね。
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0.008020という書かれ方の場合


左の0三つは「位取り」と呼ばれるもので
一番左に初めて現れる0でない数字(今回は8)が小数点から何桁くらい左に離れているかを示す数字です
で、初めて0でない数字が表れたとき(今回は8が現れたとき)ここから右にある数字を有効数字と呼びます
つまり 今回は
位取り|有効数字
0.00 |8020
という並びになっているということです
ゆえに有効数字は8020で、その桁数は4桁

これを踏まえ
2.02は一番左の位がすでに0ではないので
2.02の全部が有効数字
2.02だから有効数字の桁数は3桁
0.13は1地番左に初めて現れる0でない数字が1だから
有効数字は13で2桁
ゆえに2.02x0.13は 有効桁でいうと
3桁x2桁の掛け算ということになります
こういう時の積や商は、有効数字の桁数最小のものに合わせるのが高校ルールです(和や差には別のルールがあります)
まずは普通に積を計算して
2.02x0.13=0.2626
今回有効桁数最小は0.13の2桁なので 積もこれに合わせて有効桁数2桁で答えるのです
0は位取りだから無視
小数第2位までの概数で答えれば有効数字の桁数2けたとなるので
0.2626の小数3位を四捨五入して
答えは0.26となります
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有効桁と有効数字の考え方ができていないという事ですね。



まずは有効桁の考え方を理解しましょう。
0.008020
なら最後の ”0” まで示されているので実は
0.0080199
とか
0.0080201
なんてこともある。
最後の ”0” が省略されていないという事はそういう意味。

指数表記にすると
8.020×10⁻³
になる。
4桁で示すんだ。

そんなわけで最後の数字には丸め誤差を含んでいると考えて、それ以降の計算をすればいい。
そんだけの話です。
(計算を試行錯誤してみましょう。そうすることで理解が深まります)
「です。 0.008020 の有効数字は何」の回答画像2
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>積 2.02×0.13


はどちらも小数点以下が2桁ですので、答えも小数点以下2桁で0.26とします。
(小数点以下3桁で四捨五入していると思います。)
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