確率統計の問題

確率変数Xは2項分布B（n,p)に従い、その分散はV[X]=8/9であり、X=n-1である確率はX=nである確率の８倍である。このとき以下の問いに答えよ。ただしnは自然数であり、pは0<p<1を満たす実数である。
(1) n,pの値を求めよ。
(2) (X^2)-3X+2の期待値を求めよ。
(3) Xの期待値をE[X]とするとき、|X-E[X]|<√(V[X])である確率を求めよ。

できるだけ詳しく回答を書いていただけると嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 最初からわからないです....

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/21 05:46

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/21 10:18

二項分布 B(n, p) では

・X=k である確率 P(X=k) = nCk * p^k * (1 - p)^(n - k)　　　①
・期待値 E[X] = np　　　　　②
・分散　V[X] = np(1 -p)　　　③
であることを知っているのかな？

別に暗記する必要もないけど、テキストに必ず書いてある。一度自分で導出してみれば、暗記しなくても覚えちゃうよ。

(1) ①を使って
P(X=n) = nCn * p^n * (1 - p)^0 = p^n
P(X=n-1) = nC(n-1) * p^(n-1) * (1 - p)^1 = n*p^(n-1) * (1 - p)
　　　　　= n*p^(n-1) - n*p^n
「X=n-1である確率はX=nである確率の８倍である」ということは
　P(X=n-1) = 8*P(X=n)
なので
　n(1/p - 1) = 8
→　n = 8p/(1 - p)　　　④

また「その分散はV[X]=8/9であり」なので、③から
　np(1 -p) = 8/9　　　⑤

⑤に④を代入すれば
　8p^2 = 8/9
→　p^2 = 1/9
p>0 なので
　p = 1/3

④から
　n = (8/3)/(2/3) = 4

(2) E[X^2 - 3X + 2]
= E[X^2] - 3E[X] + 2　　　⑥

E[X] は②より
　E[X] = np = 4 * (1/3) = 4/3

分散に関する公式
　V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2
を使えば
　E[X^2] = V[X] + {E[X]}^2
なので
　E[X^2] = 8/9 + (4/3)^2 = 24/9 = 8/3

よって、⑥より
　E[X^2 - 3X + 2] = E[X^2] - 3E[X] + 2
　　　　　　　　　= 8/3 - 3(4/3) + 2
　　　　　　　　　= 6/3
　　　　　　　　　= 2

(3) この確率変数の事象を数多く試行すれば、その結果は「平均 E[X]、分散 V[X] の正規分布」に収束していきます。（大数の法則）
その正規分布を N(μ, σ^2) と書けば
　μ = E[X], σ = √(V[X])
ですから、与えられた式は
　|X - μ| < σ
つまり
　μ - σ < X < μ + σ
ということなので、正規分布の特性から、その確率は
　0.683
ということになります。

↓　正規分布
https://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3 …

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。

お礼日時：2020/10/22 04:08

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/10/21 03:06

どこまでやった?