数学 固有値が出ない 画像の固有値を求めるために計算していったんですが -λ^3+14λ^2-95λ

数学
固有値が出ない
画像の固有値を求めるために計算していったんですが
-λ^3+14λ^2-95λ+106=0
と出ましたがここからλを入れて0になるものが見つからなかったです。どうしたら良いでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/07 22:08

とりあえず、固有方程式は合っている。

これに、まず有理数解が1個ないかな？と考えてみる。
整数係数の代数方程式に有理数解があれば、
それは (定数項の約数)/(最高次項の係数の約数)
という形をしている。 今回の場合は、そのような数は
±1, ±2, ±53, ±106 の 8通り。 代入してみると
そのどれもが解ではなかった。

そうなると、もう (1次式)×(2次式) にキレイに因数分解
できる見込みはないから、次に解公式の適用を考える。
有名なカルダノ法でやってみよう。
まず、式から 2次項を消すために x = λ - 14/3 で置換する。
x^3 + (89/3)x + 3620/27 = 0 となる。
ここに x = u + v を代入すると
u^3 + v^3 + 3620/27 = (- x){ 3uv + 89/3 } と変形できる。
もし、u^3 + v^3 + 3620/27 = 3uv + 89/3 = 0 となる
ような u, v を見つけられたなら、 x が求まることになる。
この条件を
u^3 + v^3 = - 3620/27,
uv = - 89/9.
と変形してみると、2次方程式の解と係数の関係より
t = u^3, v^3 が t^2 + (3620/27)t - (89/9)^3 = 0 の解
であることが判る。 2次方程式を解いて
u^3, v^3 = t = -1810/27 ± √5461.
そのような u, v のひとつとして
u = ³√(-1810/27 + √5461),
v = ³√(-1810/27 - √5461)
が挙げられる。 これにより、
λ = x + 14/3 = 14/3 + u + v
= 14/3 + ³√(-1810/27 + √5461) + ³√(-1810/27 - √5461)
が見つかった。

y = - x^3 + 14x^2 - 95x + 106 の増減表を書いて
グラフを描いてみれば判るが、 x軸との交点は 1個である。
実固有値は上記の 1つのみで、他は虚数解であることが判る。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/12/07 21:26

どうしても固有値・固有ベクトルを出す必要があれば、虚数を含んだ解を示すしかありません。

$values
[1] 6.318567+6.152478i 6.318567-6.152478i 1.362866+0.000000i

$vectors
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.7386876+0.0000000i 0.7386876+0.0000000i 0.52555833+0i
[2,] -0.1268580+0.0276461i -0.1268580-0.0276461i 0.85059972+0i
[3,] 0.0207504-0.6610997i 0.0207504+0.6610997i -0.01638781+0i

この回答へのお礼

質問何ですがこれらの解はどのように出しましたか？

お礼日時：2020/12/07 22:03