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数Ⅰの参考書を読んでいたところ、2次式の因数分解の公式
 acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
に関して、「2次の係数については正の数の組み合わせだけ考えればよい」との記述がありました。
これは例えば、6x²+11x+4=(2x+1)(3x+4)という因数分解において、6=-2×(-3)などの組み合わせは考えないということだと思いますが、その理由を知りたいです。以下のように推測しましたが、合っているでしょうか。見当違いであれば切り捨ててください。

I.acが正の数である場合 ※以下、-a=A, -c=Cと表します。
a, cのうち一方が負の数であるとすると、もう一方も負の数である。このとき、式は
 (-Ax+b)(-Ax+d)
={-(Ax-b)}{-(Cx-d)}
=(Ax-b)(Cx-d)
A, Cは正の数であり、b, dの符号が反対になる。最初からa, cを正の数として考えてもb, dで帳尻を合わせば同じ結果になるので、a, cは正の数と固定した方が計算が楽になる。
Ⅱ.acが負の数である場合
負の数である方をaとすると、cは正の数である。このとき、式は(-Ax+b)(cx+d)となる。
これを展開した式(因数分解をする前の式)では、まず式から共通因数の-1をくくり出して、
=-{Acx+(Ad-bc)x-bc}
=-(Ax-b)(cx+d)
と因数分解される。Aは正の数であり、bの符号が反対になる。このように、2次の係数が負の数であるときはマイナスをくくり出してから公式を使うため、そもそもこの公式を使う式では、acが負の数であることはない。

Ⅱに関して、因数分解の問題で2次の係数が負の数である場合を見たことがないのも気になっています。何か理由があるものなのでしょうか、もしご存知であればこちらも併せてご教示いただけるとありがたいです。長々と書きましたがよろしくお願いします。

A 回答 (4件)

「2次の係数については正の数の組み合わせだけ考えればよい」理由は、書かれている通りです。

負の数の組み合わせを考えても同じ結果になるし、a, cは正の数と固定した方が計算が楽になるからです。負の数の組み合わせで考えることもできますが、正の数の方が取り扱いやすいので、2次の係数が負の数であるときはマイナスをくくり出してから考えます。因数分解の問題で2次の係数が負の数である場合もなくはないと思います。-12x²-22x-8=-2(2x+1)(3x+4) のようなくくり出しと公式のセットになった問題はありそうな気がします。

Ⅰ. ac>0 の場合
acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
acx²+(ad+bc)x+bd=(-ax-b)(-cx-d)=(ax+b)(cx+d)

Ⅱ. ac<0 の場合 (a<0 とします) 、マイナスをくくり出すと、
acx²+(ad+bc)x+bd=-{-acx²-(ad+bc)x-bd}=-(-ax-b)(cx+d)
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整数の素因数分解でも同じなのですが、


因数分解は、各因子を単数倍して同じになるものは
同じ分解とみなします。
単数とは、1の因子となるもののことです。

例えば、6 = 2・3 = (-2)(-3) ですが、
±2, ±3 がどれも整数の素数なので
ふたつの分解はどちらも素因数分解です。
-2, -3 は自然数の素数ではありませんが、
整数の素数ではあります。
ただし、±1 が整数の単数なので、
2 を -1 倍して -2 になり
3 を -1 倍して -3 になる
2・3 と (-2)(-3) は、同じ素因数分解とみなすのです。

多項式の場合も同様です。
多項式と多項式を掛けて積が 1 になるのは
定数式の積 1・1 = (-1)(-1) = 1 だけなので、
±1 が多項式の単数です。
6x^2+11x+4 = (2x+1)(3x+4) = (-2x-1)(-3x-4) ですが、
(2x+1) を -1 倍して (-2x-1),
(3x+4) を -1 倍して (-3x-4) になるので、
(2x+1)(3x+4) と (-2x-1)(-3x-4) は同じ素因数分解とみなします。

(2x+1)(3x+4) と (3x+4)(2x+1) が同じ分解だったり、
(2x+1)(3x+4) と (-2x-1)(-3x-4) が同じ分解だったり、
因数分解の数え方にはいろいろルールがあるのでした。

x^2 の係数 6 を 6 = (-2)(-3) と分解して
6x^2+11x+4 = (-2x-1)(-3x-4) を導いても、
6x^2+11x+4 = (2x+1)(3x+4) と同じ因数分解しか生じず
やってみる価値がないのです。
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(正)x(正)=(正)、(負)x(負)=(正) ですから、どちらでも同じです。


わざわざ (負)x(負)=(正) を考える必要が無いですよね。
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6x²+11x+4=(-2x-1)(-3x-4)=(2x+1)(3x+4)


で結局同じ結果になるから。
2次の項に負の数の積を使いたければ使えばいいと思いますが、わざわざそうする利点がないというだけのことです。
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