命題P、Qが共に真のとき PならばQは真ですか？(真理値表には真と書いてありました) このとき、P⇔

命題P、Qが共に真のとき
PならばQは真ですか？(真理値表には真と書いてありました)
このとき、P⇔Qも真と言えますか？


あるいは
真理値表の意味は、PならばQが真のとき
P、Qが真でも問題ない
ということを言っているのでしょうか？？

質問者からの補足コメント

• P⇔Qが真であることに違いはないが、
  こう真ではないということですね。

    補足日時：2021/01/19 17:55

No.1 回答者： funoe 回答日時： 2021/01/19 11:38

お考えの通り、

命題P、Qが共に真のとき、P⇒Qは真です
命題P、Qが共に真のとき、Ｑ⇒Ｐ　も真ですから、
お考えのとおり、
Ｐ⇔Ｑ　も真です。

--
＞PならばQが真のとき　P、Qが真でも問題ない
問題ないです。

Ｐ⇒Ｑ　が真　から、　ＰもＱも真が示せるという意味じゃないです。
Ｐ⇒Ｑ　が真　から、　ＰもＱも真が否定できないということです。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/19 12:05

> 命題P、Qが共に真のとき

そのときには、
　　P⇒Q（PならばQ)は真です。
　　P⇔Q（PとQは同値。P≡Qとも書きます）は真です。
ついでに
　　P∧Q（PかつQ）は真です。
　　P∨Q (PまたはQ）は真です。
　　P⊕Q (PとQの真偽は一致しない）は偽です。

これらはただの演算です。余計な意味は持っていません。

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> PならばQが真のとき
> P、Qが真でも問題ない

　「問題ない」とはどういう意味なのか？おそらく、「(PならばQ)と(Pが真)と(Qが真）は同時に充足可能だ」とおっしゃっているのだと思います。ならば、それは正しい。
　ある命題が「充足可能」というのは、そこに出てくるPだのQだのについて、それぞれに真か偽かを割り当ててみたときに、命題が真になるような割り当て方が存在する、という意味です。
　さて、「P⇒Q が真である」とは、真理値表に書いてある通り
　　(a) Pが偽でQが偽である((¬P)∧(¬Q))か、または、
　　(b) Pが偽でQが真である((¬P)∧Q)か、または、
　　(c) Pが真でQが真である(P∧Q)
ということです。
　ですから、P⇒Q が真であって、同時にPが真でQが真である（(c)の場合）、ということはありうる。言い換えれば、Pに真、Qに真を割り当てると、P⇒QとPとQがどれも同時に真になる。（これを「(P⇒Q)∧P∧Qが真になる」と言っても同じです。）つまり、「(PならばQ)と(Pが真)と(Qが真）は同時に充足可能」だということです。

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　しかしながら、

>真理値表の意味は、

というところは誤りですね。
　なぜなら、P⇒Qの真理値表は
「(PならばQ)と(Pが真)と(Qが真）は同時に充足可能である」
だけでなく、
「(PならばQ)と(Pが偽)と(Qが真）は同時に充足可能である」
「(PならばQ)と(Pが偽)と(Qが偽）は同時に充足可能である」
「(PならばQ)と(Pが真)と(Qが偽）は同時に充足可能でない」
ということも示している。
　これら全部を含めたものが、真理値表の意味するところだからです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/19 14:31

前の質問

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12154642.html
の No.3 でも少しだけ触れたのだが、君の混乱は
命題が真であることと述語が恒真であることをごっちゃにする
ことから生じているのではなかろうか。

命題P、Qが共に真のときは確かにP⇔Qも真で、それでいいのだが、
その話は命題P、Qが共に真であるときにだけしか言えてない
ことを忘れず、結果を拡大解釈しないようにしないと
前回の正方形と平行四辺形のような変な話が生じてしまう。

この回答へのお礼

納得したと思います。

#1と2の方が書かれていることと違うように思いますが合ってますか？

お礼日時：2021/01/19 17:52

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/01/19 18:33

命題 P, Q がともに真なら

命題「PならばQ」は真
だよ. 「P⇔Q」は, それが「P と Q が同値」という意味なら真 (その他の意味ならどんな意味なのか書いてほしい).

「あるいは」以降は意味不明だな. 「問題ない」ってどういうこと? どういう状況のことを言っている?