微分について。

すみません。第 2次導関数で、d/dx(dy/dx)と表せる事はわかるのですが、分母がd∧ x∧ 2にならないのかが分かりません。 ご教授いただけないでしょうか？

質問者からの補足コメント

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  以下のURLのようなコメントをいただいたのですが、間違いでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。お礼コメントのURLは無視して下さい。
  https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/04/07 20:32

No.15 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/08 15:41

なんでそっちに? もしも

d/dx^2

と言う書き方をしていたなら「x^2で微分」と言う意味になるかもしれませんが

(d/dx)^2

と同じ意味ですから分母に当たるdx^2は当然(dx)^2と言った意味になります。

No.14 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/08 14:35

そう言う事でいいかと。

もっともd単独では意味を成さないのであくまでも「解釈」と言うだけですが。


ちなみに私は件の表記を初めて見た時に分母と同じ形の

dy^2/dx^2

と書くべきでは? と思いましたが、これだと「y^2を微分」と言う意味になってしまうので、現行の表記がやはり妥当だと思いました。

この回答へのお礼

ちなみに、この意味は、yをx∧2で微分するという事でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/08 15:19

No.13 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/08 14:21

って言うか、そんなに悩む事でもないのでは? 中学生レベルの単純な頭で考えればいいかと。

そもそもd^2y/dx^2と言うのは演算子で考えれば

(d/dx)^2y

と言う事になります。例えば

(b/a)^2=b^2/a^2

となるわけですから、全く同じ理屈で

(d/dx)^2=d^2/dx^2

と言う具合に括弧を外しただけと考えればいいと思います。

この回答へのお礼

つまり、b＝d、a＝dxを代入しただけという事でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/08 14:30

No.12 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/08 14:13

全然違います! そもそもこの場合のxは「微分する変数」ですから「xを微分する」は明らかに不適切です。

元々dxとは「⊿xを無限に小さくしたもの」と言う意味なので、d自体に「○○を微分する」と言った意味はありません。そもそも微分とはxとyをセットにしないと成り立たない概念ですから「『xで微分したもの』分の『yで微分したもの』」と言う理解の仕方は明らかに間違っています。

No.11 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/08 10:32

話を一番の根っこに戻すと、yをxで2回微分する事を

d^2y/dx^2

と書くのは単なるお約束に過ぎず「数学的に正しい事」と言うわけではありません。例えばの話ですが、二階微分の事を

yd/xd

と書く事にしたとしても、それでみんなが分かるのであればこのような表記にしたとしても何の問題もありません。現行の表記はあくまでも「自然で納得しやすい」と言う理由から定着しただけであって「こうでなければいけない」と言う数学的な理由は何もありません。

この回答へのお礼

つまり、このような解釈でも良いのでしょうか？
dは、微分の頭文字でd∧2yで、yを2回微分します。で、dx∧2についてxを2回微分する。みたいな感じでしょうか？すみません。意味不明で。ご教授いただけないでしょうか？

お礼日時：2021/04/08 14:01

No.10 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/08 10:15

例えばxの2乗を(x)^2と書いたりする事はありませんよね。

括弧を使わずにx^2と書くのが普通です。dxとはd×xと言う意味ではないわけですから、同様に括弧を使わずにdx^2と書いても「d×x^2」と言う意味には見えません。そして前述のようにdy/dxを

dy/dx=(d/dx)y

と言う具合に「微分演算子d/dxとyとの掛け算」と考えると、二階微分は

(d/dx)(d/dx)y

={(d×d)/(dx×dx)}y

={(d^2)/(dx^2)}y

=(d^2/dx^2)y

=d^2y/dx^2

となるので、現行のものが自然で分かりやすいと思います。

No.9 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/08 09:41

「なぜ下が(dx)^2とならないのか」との事ですが、dx^2と言うのが(dx)^2と言う事だと解釈すれば納得できると思います。

そもそもこれらは単なる表記法であって「計算の結果」ではないわけですから、率直に言ってどんな書き方でも構いません。

No.8 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/04/08 08:35

ぶっちゃけ、、

ｙの導関数（xで微分したもの）であるというのを表す方法としては、いくつかの記載方法があります。

簡易的なものは y' というのもありますしが、これではｙがｘの関数であって、ｘによって微分されたものであるということはわかりません。
なので、そのあたりを明示したいときには、　d/dx {y(x)}　というような書き方をすることがあります。　
少し簡単にして、dy/dx ということもあります。

さて、二次導関数の場合は、この処理を二回行うということで、
d/dx(dy/dx) とか聞いていますがもう少し詳しく書くと、
ｄ/dx｛d/dx(y(x))｝ということになります。

まあ、ぐちゃぐちゃして分かりにくいので、これを
d²ｙ/dx²　と書きましょうとしただけです。
dx²は（dx）²　という意味で、　ｘ²で微分するという意味にはなりません。　これは、書き方の慣習の問題ですので、そう覚えておくしかないです。
状況によっては、もっと簡単に y''(x) , y'' などと書くこともあります。

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/07 23:03

実は私もd^2y/dx^2と言う書き方を初めて見た時「dy^2/dx^2じゃないの?」と不思議に思いましたが、前述のような形で納得しました。

d^2y/dx^2は言うまでもなくyをxで2回微分する事ですから、これはyに対してd/dxと言う微分演算子(微分すると言う操作を数のように見なしたもの)を2回作用させると言う事になります。なので

d^2y/dx^2

=(d/dx)(d/dx)y

=(d/dx)^2y

=(d^2/dx^2)y

と言う具合に考えれば納得しやすいと思います。

この回答へのお礼

ですが、なぜ下が（dx)∧2 とならないのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。なぜこの計算で、x∧2となるのでしょうか？よろしくお願いします。

お礼日時：2021/04/08 07:25

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/07 22:28

話をリセットすると、要は「第二次導関数はなぜこの表し方になるのか」と言う事ですよね。

単純に「そのような書き方にすると約束した」と言うだけであって、基本的には他に理由はありません。正直言って質問者様の「d^x^2」が意味不明にしか思えないのですが、二階微分を

(d/dx)(d/dx)y

と考えれば

{(d/dx)^2}y=(d^2/dx^2)y

と表すのが妥当に見えて来ると思います。

注:分母(に当たる部分)のdx^2は(dx)^2と解釈すれば納得しやすいと思います。

この回答へのお礼

{(d/dx)^2}y=(d^2/dx^2)yの所が分かりづらいです。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/07 22:45