この問題の解説をお願いしたいです

点oを原点とする座標平面上を動く点 P(1 + t^2, 2-2t) がある. OPが
x軸の正の向きとなす角をθとする. tが実数全体を動くとき, θの動く
範囲を求めよ.(ただし,ーπ/2<θ<π/2とする)

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/05/09 18:34

tanθ=(2-2t)/(1+t²)

(tanθ)(1+t²)=2-2t
(tanθ)t²+2t+tanθ-2=0

このｔの方程式が実数解をもつ。
tanθ=0 、つまり、θ=0 のとき、
2t-2=0 より、 t=1
よって、適する。

tanθ≠0 のとき、
判別式 D/4≧0
D/4=1-tanθ(tanθ-2)
=-tan²θ+2tanθ+1
よって、
-tan²θ+2tanθ+1≧0
tan²θ-2tanθ-1≦0
tan²θ-2tanθ-1=0 とおくと、
tanθ=1±√2 より、不等式の解は、
1-√2≦tanθ≦1+√2

tanθ₁=1-√2 とすると、tanθ₁<0 より、-π/2<θ₁<0
tanθ₂=1+√2 とすると、tanθ₁>0 より、0<θ₂<π/2

tan2θ=2tanθ/(1-tan²θ) を利用して、
tan2θ₁=2tanθ₁/(1-tan²θ₁)=2(1-√2)/{1-(1-√2)²}=-1
-π/2<θ₁<0 より、-π<2θ₁<0 なので、
2θ₁=- π/4
θ₁=- π/8

tan2θ₂=2tanθ₂/(1-tan²θ₂)=2(1+√2)/{1-(1+√2)²}=-1
0<θ₂<π/2 より、 0<2θ₂<πなので、
2θ₂=3π/4
θ₂=3π/8

したがって、
- π/8≦θ≦3π/8

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2021/05/08 00:24

tanθ=(2-2t)/(1+t²) {t=tanφ/2, -π<φ<π とおくと}

=(2-2tanφ/2)/(1+tanφ/2)
=2cos²φ/2-2sinφ/2cosφ/2
=cosφ-sinφ+1
=√2 (cosφcosπ/4-sinφsinπ/4)+1
=√2 cos(φ+π/4)+1 {-3π/4<φ+π/4<5π/4}
1-√2≦tanθ≦1+√2
-π/8≦θ≦3π/8

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/08 00:14

u=tanθ=(2-2t)/(1+t²)

tanθは狭義の単調増加だからuの最大最小はθのそれと一致する。
したがって
du/dt=2(t²-2t-1)/(1+t²)² → du/dt=0 → t=1±√2

tanθ=(2-2t)/(1+t²)=-1±√2
したがって
θ=-tan⁻¹(1+√2) ~ tan⁻¹(-1+√2)